期待値の加法性の証明法

質問

確率変数Zの確率密度関数をpとするとき，Zの期待値は

E[Z] = ∫{z p(z)}dz
（ただし積分範囲はZの定義される空間全体）

で定義されますが，期待値の加法性：

E[X + Y] = E[X] + E[Y]

はどのように証明できるのでしょうか？

証明もしくは証明が載っている文献を教えて頂ければ幸いです。

回答No.6

Tacosan · ベストアンサー

ところで, 期待値の加法性は独立でなくても成り立つんだけど, そのことは気付いてる?

回答No.8

guuman

つっこみがはいっているな
こんなこと教科書で勉強している奴もいるんだね
まー
独立の前提がないんなら
X,Yの同時密度をp(x,y)としてやれ
することはほとんどなくなるね
この場合は独立のほうが少しはやった気がするんだけどね
解決したら閉めきれ

回答No.7

kumipapa

確かにおっしゃるとおりですね　＞#6 さん
E[X+Y] = E[X] + E[Y] を証明するのに X, Y が独立であることを条件に入れるのは、まあ、なんと言うか、ちょっとねえ・・・・。

教科書に載ってないんですか？
同時確率密度を使って積分するのですけど。参考まで。
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB03_19.htm

最後に、
＞　E[X + Y] = ∫{(x+y)p(x+y)}dz
は、むごいです。自分でよく考えましょう。

回答No.5

guuman

>E[X + Y] = ∫{(x+y)p(x+y)}dz
がおかしい理由なんてすぐ分からんのか

X,Yの絡みを考えるということは
X,Yが同時に生じる確率を考えるということだ
X,Yが独立である時に
その密度は
Pxy(x,y)＝q（x)・r(y)
だろうが

分かったらさっさと締め切んしゃい

回答No.4

Tacosan

∫[f(x)+g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
でしょ?
2変数でも同じ.

回答No.3

guuman

>E[X + Y] = ∫{(x+y)p(x+y)}dz

はおかしい
以下断らない限り積分範囲は実数全体
E[X+Y]=∫∫dxdy・(x+y)・q(x)・r(y)
じゃ
この式を使ってもう一度やってみい

補足

ありがとうございます。新しい式を使えば加法性を証明できました。

E[X+Y] = ∫∫dxdy・(x+y)・q(x)・r(y)
= ∫∫(x+y)q(x)r(y)dxdy
= ∫{∫(x+y)q(x)dx}r(y)dy
= ∫{∫xq(x)dx + y∫q(x)dx}r(y)dy
= ∫(E[X]+y)r(y)dy
= E[X]∫r(y)dy+∫yr(y)dy
= E[X] + E[Y]

ただ，自分が最初に書いた式が間違っている理由がまだ分かっておりません。この点をもう少し考えてみます。

回答No.2

Tacosan

(条件はあるけど) 積分と加算は交換できるんじゃないの?

補足

ご回答いただきありがとうございます。
すみません、「積分と加算が交換できる」の意味がよくわかりませんでした。補足いただければ幸いです。

回答No.1

guuman

X,Yが独立の場合に
それぞれ密度をq(x),r(x)としたときの
E(X+Y)
を算出する式を補足に書け

補足

早速ご回答頂きありがとうございます。
簡単のためX, Yが実数空間で定義された確率変数であるとします。この仮定により，以下の式で積分範囲はすべて実数空間全体となります。

期待値の定義式：E[Z] = ∫{z p(z)}dz に，Z = X + Y を代入して，

E[X + Y] = ∫{(x+y)p(x+y)}dz
= ∫[(x+y)∫{q(t)r(x+y-t)}dt]dz
= ∫[z∫{q(t)r(z-t)}dt]dz
= ?

…すみません。行き詰まりました。

一方，
E[X] + E[Y] = ∫{x q(x)}dx + ∫{y r(y)}dy
= ∫{z q(z)}dz + ∫{z r(z)}dz
= ∫[z {q(z) + r(z)}]dz