条件付き確率の証明？

質問

確率変数YとZが独立の時、
ｆ（X|Y)=Ez[f(X|Y,Z)]
を示せ。
ただし確率密度関数ｆ（ｙ）は常に正とし、Ezは確率変数Zに関する期待値を意味する。

この証明の仕方を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

以下の確率密度関数は手抜きをして全部fで表していますが、添え字を補って考えてください。
（例えばf(x, y)ならf_{X, Y}(x, y)というように）

f(x, y)をX, Yの同時密度関数とすると、条件付き確率密度関数の定義から
f(x|y) = f(x, y)/f(y)
です。同様に
Ez[f(x|y, z)] = Ez[f(x, y, z)/f(y, z)]
ですが、YとZは独立
f(y, z) = f(y)f(z)
なので、
Ez[f(x|y, z)] = Ez[f(x, y, z)/f(y)f(z)]
= Ez[f(x, y, z)/f(z)]/f(y)
= ∫{f(x, y, z)/f(z)}f(z)dz/f(y)
= ∫f(x, y, z)dz/f(y)
= f(x, y)/f(y)
f(x|y)
となります。

f(y, z)>0としていますが、f(y, z)=0となる場合もあるならば、
Ez[f(x|y, z)] = ∫_{f(y, z)>0} {f(x, y, z)/f(y, z)}f(z)dz +∫_{f(y, z)=0} 0・f(z)dz
と分ける必要があります。

お礼

詳しい解説ありがとうございました！
助かりました。