期待値の公式の証明

質問

E(x+y)=E(x)+E(y)を証明せよ、という問題が分かりません。
同時確率密度関数f(xy)
xの周辺確率密度関数fx(x)
yの周辺確率密度関数fy(y)を使えと言われましたが、どう使えば良いのか・・・
分かる方はご意見をお願いいたします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

考えることは、何ひとつ無い。
定義に従い、黙々と計算しよう。

(x,y) の変域を S、
S の x=x0 での断面を Sy(x0) = { y | (x0,y)∈S }、
S の y=y0 での断面を Sx(y0) = { x | (x,y0)∈S } と置く。
また、x, y それぞれの変域を
Dx = { x | ∃y, (x,y)∈S }、
Dy = { y | ∃x, (x,y)∈S }　と置く。

E(x+y) = ∬[(x,y)∈S] (x+y) f(x,y) dx dy
　　= ∬[(x,y)∈S] x f(x,y) dx dy　+　∬[(x,y)∈S] y f(x,y) dx dy
　　= ∫[x∈Dx] ∫[y∈Sy(x)] x f(x,y) dy dx　+　∫[y∈Dy] ∫[x∈Sx(y)] y f(x,y) dx dy
　　= ∫[x∈Dx] x { ∫[y∈Sy(x)] f(x,y) dy } dx　+　∫[y∈Dy] y { ∫[x∈Sx(y)] f(x,y) dx } dy
　　= ∫[x∈Dx] x fx(x) dx　+　∫[y∈Dy] y fy(y) dy
　　= E(x)　+　E(y).

お礼

ご丁寧な回答をありがとうございました。
返信が遅れて申し訳ありません。
試しに自分でも計算しようと思います。