組合せ

質問

こんにちは。高校数学１の組合せ分野に関して、問題集の解説を読んでも理解できません。

問題「６個の同品質のリンゴa,b,cの３つの相異なる鉢に盛り分ける分け方は何通りあるか。ただし、鉢には何個盛ってもよく、また、全然盛らないものがあってもよいとする。」

解答「３個のものから重複を許して６個とる組合せの数をもとめればよい。
3Ｈ6＝8Ｃ6＝8Ｃ2＝２８（通り）」

↑解答の解説がさっぱり分かりません。順番に解説していただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

（ちなみに、私は、aに０個の場合が７通り、１個の場合が６通り…として、７+６+５+４+３+２+１＝２８とするやり方なら、わかりました。）

回答No.5

0lmn0lmn0 · ベストアンサー

すみません。間違えました。

>>　同じものだとすると、逆に、何で区別されているのでしょうか。

（誤）　Ａ　６個を（区別して）６！で割り、
（正）　Ａ　６個は（区別出来ないので）、６！で割り

（誤）　Ｂ　２個も（区別して）２！で割って、
（正）　Ｂ　２個も（区別出来ないので）、２！で割って、

　次に、

>>「重複組合せ」＝「組合せ」＝「同じものを含む順列」

ではなくて、

「重複組合せ」を、丸棒分配法で、「組合せ」に変換して、
「組合せ」＝「同じものを（２種類）を含む順列」

「同じもの（３種類）を含む順列」については、
aabbbcccc、２＋３＋４＝９
９！/２！３！４！　と拡張されます。
（ｘ＋ｙ＋ｚ）＾９　を展開したときの、
ｘ＾２・ｙ^３・ｚ＾４　の項の係数に相当するので、
多項定理における多項係数と呼ばれます。

さらに、
ｎ個のうち、ｐ個同じ、ｑ個同じ、ｒ個同じ、・・・、ｓ個同じは
ｐ＋ｑ＋ｒ＋・・・＋ｓ＝ｎ
ｎ！/ｐ！ｑ！ｒ！・・・ｓ！　と拡張されます。

（余談）
ＨＮを見て、京都の方かと思い、
夢窓疎石（むそうそせき）により開山された、
相国寺の付近で桑原武夫氏と遭遇し・・・　　。

お礼

回答ありがとうございます。

「組合せ」＝「同じものを（２種類）を含む順列」
「同じもの（３種類以上）を含む順列」

の２種類に分けて考えるといいのですね。
ありがとうございます、

回答No.4

0lmn0lmn0

>>2はどういうこと・・・

｜を●に入れ替えて書きます。

○●○●○○○○とか、
○○○○○○●●ですね。

（１）
８個から、２個取り出す（組合せ）に見えれば、それで終了です。
８人の中から（掃除する人を、２人選ぶ場合の数）と、
８人の中から（掃除しなくていい人を、６人選ぶ場合の数）は、
一致しますね。
８個から●を２個選ぶ事と、８個から○を６個選ぶ事は同じことだから、
公式として　８Ｃ２＝８Ｃ６　が成立します。計算式は、
８Ｃ２＝8*7/2*1、
８Ｃ６＝8*7*6*5*4*3/6*5*4*3*2*1
(6*5*4*3)が約分されて、両式が一致しているのが、確認できます。
ｎとｒを使って書くと、ｎＣｒ＝ｎＣｎ-ｒ、（Ｅ）
ｎＣｒ＝ｎ！/ｒ！（ｎ－ｒ）！　で、　　　（Ｆ）
ｎＣｎ-ｒ＝ｎ！/（ｎ－ｒ）！（ｎ－（ｎ－ｒ））！＝ｎ！/（ｎ－ｒ）！ｒ！
話がズレましたが、（Ｆ）も必要です。

（２）
多分、この話ではなくて、
８個から２個取り出す（組合せ）に見えない←　と。
８個に番号をつけて、
１,,２,,３,,４,,５,,６,,７,,８
○●○●○○○○ ←２、４を選んだ。
○○○○○○●●　←７、８を選んだ。
と見るのが最善と思います。

（３）
（同じ物を含む順列）と見る。
ＡＢＡＢＡＡＡＡ
ＡＡＡＡＡＡＢＢ
Ａが６個、Ｂが２個の順列の数は、
最初に８個全部異なると数えて、その数は８！。
次に、Ａ　６個を区別して６！で割り、
Ｂ　２個も区別して２！で割って、答は８！/６！２！と　。
当然ながら、（Ｆ）において、ｎ＝８、ｒ＝２　を入れると
ｎＣｒ＝ｎ！/ｒ！（ｎ－ｒ）！が、
８Ｃ２＝８！/２！６！に化けて、同じになります。

（４）余談を書こうと思いましたが、朝日が顔を出したので・・・。
誤植があるかもしれないんで、御注意ください。

お礼

詳細な回答をありごとうございます。
順列・組合せについては、いろいろ混乱しています。

「重複組合せ」＝「同じものを含む順列」と考えてよいということでしょうか？
　同じものだとすると、逆に、何で区別されているのでしょうか？（何が違うのでしょうか？）
説明していただけるとありがたいです。

回答No.3

debut

例えば、aに２個、bに１個、cに３個を、aa｜b｜cccのようにa,b,cの並びに区切りを入れて、それを境にしてりんごがどこに何個入ったかを表すとすれば、すべてをりんご６個と区切り２個の順列で示せます。

よって、８個の場所からりんごの場所を６個とる、または８個の場所から区切りの場所を２個とる組合せで、8Ｃ6＝8Ｃ2と計算できます。

お礼

回答ありがとうございます。
回答に感謝します。

回答No.2

0lmn0lmn0

（重複組合せ）は考え方が難解です。
昨今は丸棒方式が主流のようです。
○６個と｜２本で構成します。

○｜○｜○○○○は鉢aに１個、鉢bに１個、鉢cに４個、
○○○○○○｜｜は鉢aに６個、鉢bに０個、鉢cに０個と見て、
丸棒の並べ方は、提題の場合の数に一致します。
（棒の数）＝（鉢の数）－１　になります。

重複組合せの記号では3Ｈ6ですが、
覚えない方がいいと思います。
図を見ながら直接、（3+6-1)Ｃ2=8Ｃ2=8・7/2・1=28です。

8Ｃ2と書けるのはいいですか。

尚、（重複組合せ）は様々なパターンがあります。
http://www.nikonet.or.jp/spring/repeat/repeat.htm
慣れるしかないようです。

お礼

回答ありがとうございます。
よくわかりました。
＞重複組合せの記号では3Ｈ6ですが、
覚えない方がいいと思います。
＞図を見ながら直接、（3+6-1)Ｃ2=8Ｃ2=8・7/2・1=28です。
↑わかりました。
＞8Ｃ2と書けるのはいいですか。
これはわかります。

補足

すいません・・・
＞8Ｃ2と書けるのはいいですか

8のほうはわかりますが、2はどういうことになるのでしょうか？
下の「この回答へのお礼」では分かりますとかきましたが、よく考えると分かりません。教えていただけるとありがたいです。

回答No.1

arashi1190

鉢が３個しか無いのに「重複を許す」ということがわかり難くなっている原因ではないでしょうか。

問題を、
「６個の同品質のりんごすべてににＡ，Ｂ，Ｃのいずれかの記号を付ける。記号の付け方は何通りあるか。ただし、すべてのりんごに同じ記号を付けてもよく、付けない記号があってもよい。」
と置き換えてみるとわかりやすいと思います。

式については以下参照。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E5%90%88%E3%81%9B_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)