組み合わせn+m-1Cmの公式についてわかりません

質問

ある問題の解答について理解できないのでお願いします。
問題は
赤球３個白球３個青球３個が計９個の玉がある。ただし、同じ色の３個には区別がない
（１）ここから３個を取り出すとき選び方は何通りか
（２）ここから７個を取り出すとき選び方は何通りか
（１）の解答
組み合わせの公式を使い
3+3-1C3より10通り
（２）の解答
パターンを考えて６通り
と書いてありました。
（２）を組み合わせの公式を使うと3+7-1C7より３６通りになってしまい、答えが違います。
（２）の場合、なぜ組み合わせの公式が使えないのでしょうか？？

回答No.2

mmk2000 · ベストアンサー

組み合わせの公式というのを知らなかったので調べてみたんですが、
組み合わせの公式：
・nＣr＝nＰr/r!
・nＣr＝nＣn-r
とありましたが、これに間違いないですか？
もしかして、重複組合せの公式ではないでしょうか？
そうすると異なる３種類の玉から、重複を許して３つ取る組合せだから
3H3=(3+3-1)C3=5C3
これに組合せの公式を使うと
5C3=5C2=10

考え方としては
仕切り「｜」と、取り出した玉「○」について
○｜｜○○
というふうに仕切りを作る。左は赤、真ん中は白、右は青と決めると、この順列がそのまま組合せになるから
5!/3!2!(=5C3)
と、公式を使わなくても可能です。

（２）については、重複組合せの公式が使えません。
なぜなら、重複を許して７個同じ色のものをとれないからです。
（１）は３つしかとらなかったので、３つとも赤だったり青だったりが可能でした。だから「重複を許して」ということがいえるのですが、（２）は必ず３色の玉を取り出す必要があり、どの色についても「重複を許して」７個とることができません。

よく考えると、「３個とも取り出す色」が・２色ある場合と・１色だけの場合のどちらかですよね。
（赤３青２白２だったら、３個とも取り出す色は１種類、赤３青３白１なら、３個とも取り出す色は２種類）
３色あるうち、２色を選ぶ選び方は３通り
３色あるうち、１色を選ぶ選び方は３通り
よって６通り

回答No.3

phan-tak

そもそも場合の数(確率)において一々公式など覚えなくても
解ける問題が多いのではないかと思います(期待値等は別として^^;)

今回の場合、答えは高々10通りと6通りしかないので
公式云々言ってるよりも地道に数え上げたほうが速く確実に解けるのではないでしょうか？

数学における公式の丸暗記は非常に危険です
ちょっとした覚え間違いで突然等式が崩れだしたり
(2)のように何故か公式が適用されないといった事態に陥ることがあるからです

大事なのは考え方だと思います
mmk2000さんの仰る玉と仕切りを並べる考え方はとても便利です
問題に対してどの公式を使うかではなくどのような考え方を持つか
という意識を強く持ってほしいです

全然質問に対する回答になってませんが(←
その点に関しては他の回答を参照していただければと思いますｗ

回答No.1

nag0720

n+m-1Cmは重複組合せの公式です。

重複組合せとは、n種類のものからm個取り出すときの選び方です。
このときのn種類のそれぞれの個数は、無制限にあるというのが前提です。
（無制限と言っても、それぞれm個あれば十分ですが）

(1)は、３個を取り出すとき選び方ですから、それぞれの個数が３個以上あるので重複組合せの公式が使えます。
しかし、(2)の７個を取り出すとき選び方は、もし赤白青がそれぞれ７個づつあったとしたら公式は使えますが、それぞれの個数が３個しかないので重複組合せの公式は使えません。

(2)の別解として、
９個中取り出さない２個を選ぶと考えれば、公式が使えます。
3+2-1C2=6