重複組合せを全体事象とする確率の問題を作りたい

質問

確率では、全体事象に、順列P、組合せＣ、重複順列Πを使って解くことが良くあります。
しかし、重複組合せＨを使って解く問題は見たことがありません。

それは例えば、
www.geocities.jp/ikemath/_userdata/ho_pdf/249hozyu.pdf
にあるように、
問題．9 個のリンゴを 1 つずつ 3 人の人 A，B，C に無作為に配る．一つももらえない 人がいてもかまわないとする．
Ａにちょうど3個配られる確率は?

にあるように、9個のリンゴを区別しないで考えた配られ方3H9通りを全体事象と考えると、それぞれの配られ方が同様に確からしくならないからです。

しかし、なんらかの状況をうまく設定することで、重複組合せのそれぞれが同様に確からしいという問題を作りたいのです。
分母にnHrを使うような確率の問題を作りたいのです。

どうかアイデアがある方は教えていただけますようお願いします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

ANo.1のコメントについてです。
> 不自然

　いやそれはヤヤコシ星人のカルチャーなんですから、大目に見てやって下さい…というのはさておき、

　ルーレットの問題は、私なら、
　　玉の入り方の場合の数は全部で 11C2
　　Aが丁度3個リンゴを貰うような玉の入り方の場合の数はというと、ひとつの玉は"4"に入って、もうひとつが"5"～"11"の7通りのどれかに入るのだから、7C1
　　なので、確率は
　　(11C2)/(7C1)
とやるんじゃないかな。となると、強いてH使うのは不自然かも、ってことで。

　んー。なかなか難しいですねー。

お礼

ありがとうございます。

問題．区別のない9 個のリンゴを 1 つずつ 3 人の人 A，B，C に配りたい。その方法として、1から11の番号が書かれた11個のポケットのある円盤ルーレットを用意する。その中にランダムに2個の玉を投げ入れる。例えば、2と3のポケットに入ったとき、
1,○,○,4,5,6,7,8,9,10,11
と
A,○,○,C,C,C,C,C,C,C,C
を対応させることで、Aにリンゴを1個、Ｂにリンゴを0個、Ｃにリンゴを8個与えることにする。
このとき、Ａにちょうど3個配られる確率は?
答え. (2H6)/(3H9)=(7C6)/(11C9)=(7C1)/(11C2)

なので、同じことですが、自己擁護すると、問題文にある数字を使うという意味ではＨを使うのが自然だと思っています。

回答No.3

stomachman

カードも使いよう、という気がしてきました。
「リンゴを配ろうと思うのだが、ただのくじ引きでは面白くない。そこで、コレコレのように配り方を書いたカードを用意した。カードを引いてどうのこうの…」
という設定にしておいてですね、このカード方式の配り方を「リンゴ１個ずつについて、それを誰にやるかをルーレットで決める」というルーレット方式と比較する、ってところを問題の趣旨にしてはどうでしょう。たとえば、
(問1) カード方式のときA氏が全部貰う確率は? ルーレット方式ではどうか。
(問2) カード方式のときA氏がひとつももらえない確率は? ルーレット方式ではどうか。
(問3) カード方式の配り方は公平だと言えるか？
てな風に構成するのはいかがです？

回答No.1

stomachman

リンゴの代わりにボース粒子を使う。これなら個々の粒子に区別がない。

というのでは非道すぎますね。

　では、これならどうだろう：

　ヒトの性別は2種類{♂, ♀}だが、ヤヤコシ星人には性別がn種類{s1, s2, …, sn}ある。アパート「ヤヤコシ莊」にはどの部屋にもヤヤコシ星人がK人ずつ住んでいるが、部屋ごとに性別の組み合わせが全部異なっている。そして、どんな組み合わせの部屋も必ずある。たとえば、s1ばかりK人の部屋も、s1とs2がひとりずつとs3が(K-2)人という部屋も、それぞれひとつずつある。さて、このアパートに新聞勧誘員がやってきた…

という風に話を始めれば、なんとかなるのではないかなあ。

お礼

ありがとうございます。
でも、「部屋ごとに性別の組み合わせが全部異なっている。そして、どんな組み合わせの部屋も必ずある。」という状況が不自然のような気がします。

それなら、

問題．区別のない9 個のリンゴを 1 つずつ 3 人の人 A，B，C に配る配り方を書いた3H9のカードがある。その中から一枚のカードを選ぶとき、Ａにちょうど3個配られる確率は?
答え. 2H6/3H9

というのもできると思います。

ところで、ちょうど今、次のことを考えました。いかがでしょう？

問題．区別のない9 個のリンゴを 1 つずつ 3 人の人 A，B，C に配りたい。その方法として、1から11の番号が書かれた11個のポケットのある円盤ルーレットを用意する。その中にランラムに2個の玉を投げ入れる。例えば、2と3のポケットに入ったとき、
1,○,○,4,5,6,7,8,9,10,11
と
A,○,○,C,C,C,C,C,C,C,C
を対応させることで、Aにリンゴを1個、Ｂにリンゴを0個、Ｃにリンゴを8個与えることにする。
このとき、Ａにちょうど3個配られる確率は?
答え. 2H6/3H9