重複組み合わせで、個人的に腑に落ちないところ

質問

赤玉3個、白玉3個、黒玉3個の計9個の球がある。ただし同じ色の3個には区別はないものとする。
(1)ここから3個取り出す時、選び方は何通りか？
(2)ここから7個取り出す時は？

(1)ではなぜ9C3ではだめなんでしょうか？重複組み合わせとして解くようです・・・
(2)ではその重複組み合わせで考えたんですが、答えが違ってしまいました。
3＋7－1C7＝36通りではなく、6通りのようです。

すみません、考えてみたんですがよくわかりません。解説してうただけないでしょうか

回答No.4

nag0720

重複組み合わせとは、n種類の中からk個取り出すときの組み合わせですね。
重複組み合わせの式を適用するためには、それぞれの種類の個数がk個以上あることが必要です。
この問題は、赤白黒とも３個づつあるので、重複組み合わせが適用できます。

(1)3H3=(3+3-1)C3=5C3=10

(2)は7個取り出す組み合わせと、2個取り出す(7個残す)組み合わせは同じと考えると、
3H2=(3+2-1)C2=4C2=6

回答No.3

naniwacchi

おはようございます。

「組合せ」だけでもややこしいのに、「重複」なんて言われたらなおさらですよね。＾＾
(1) 「組合せ」と「重複組合せ」の中で出てくる「区別しない」という言葉は意味が違ってきます。
・「組合せ」では、選ばれたものの順番を考えないという意味をもっています。
個々のものは区別できることになります。（人のグループ分けなどを考えてみてください。）
・「重複組合せ」の場合は、個々のもの自体が区別できないという意味になります。
質問での問題を例とすれば、赤玉はそれぞれの区別ができません。

(2) すると、この場合はなぜ重複組合せではだめなのか？となりますよね。
「重複」というのは、雑な表現ですが「いくらでも取ってこれる」という意味もあわせもっています。
と言われても「？」という感じですよね。

(1)の問題では、「3つ選ぶ」ことに対して「それぞれの色の玉も 3つずつ」用意されています。
ということは「すべて赤玉」「すべて白玉」「すべて黒玉」という選択肢が可能になっています。

ところが(2)の問題では、「7つ選ぶ」ことに対して「それぞれの色の玉は不足」しています。
「すべて赤玉」などということができない状況になっています。
もし、それぞれの色の玉が 9つずつ（or 9つ以上の個数ずつ）用意されていれば重複組合せで勘定することが可能になります。

ですので、この問いは重複組合せではできないことになります。

正直、あまりこの言葉（公式）にはとらわれずに考えられるようにした方がよいと思います。

回答No.2

shiroha

(1)　9C3では9種類の球から選ぶ場合です。今回は玉は９個あっても各色に区別がないので違います。
別の例題として「赤球が３個有ったとし、この３個には区別が無いものとする。ここから1個取り出す時選び方は何通りか？」
答えは１通りです。同じ赤球が３個あり区別のない全く同じの球ですから。これが、１～３までの番号が書いてあれば３通りになります。

（２）これは、選ばれない球を数えた方が簡単ですよ。
赤玉（R)、白玉（W)、黒玉（B)とします。
取り出されないのは、RR、WW、BB、RW、WB、BRの６通りです。

回答No.1

sei-satou

「重複組み合わせ」という言葉を使ったことがないのでよくわからないのですが、このような問題は自分は数式に頼らず数え上げでやりますね。

(1)
赤3
白3
黒3
赤2白1
赤1白2
赤2黒1
赤1黒2
白2黒1
白1黒2
1ずつ

の、10通りでしょうか？

(2)
7個を選ぶ⇔残りの2個を選ぶ
残りの2個の選び方は
赤2
白2
黒2
赤白
白黒
黒赤

の6通り。

この程度の問題ならば数え上げで解答するのが早いと思います。

(1)がなぜ9C3ではいけないのかというと、9C3というのは
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)とすべてが区別できる中から
(1)(5)(9)、(2)(4)(8)のように3つ選ぶときの選び方の総数であり、
当然↑の二つは異なったものとして考えます。
一方、仮に(1)～(3)が赤、(4)～(6)が黒、(7)～(9)が白であり
同じ色のものは区別がしないとすると
(1)(5)(9)、(2)(4)(8)はともに赤黒白という同じものとして扱われます。
ですから9C3はこの問題には不適切です。