組み合わせの問題の解き方を教えて頂けますか？

質問

組み合わせの問題の解き方を教えて頂けますか？

Ｑ．９人を３人ずつの３組に分ける時、何通りの組み合わせがあるか

解答では
１６８０／３×２×１＝２８０（通り）
とあるのですが、なぜそうなるのかが分かりません。

私は
９Ｃ３×６Ｃ３、
９×８×７／３×２×１　　×　　６×５×４／３×２×１　＝　１６８０（通り）
と解いて間違いました。

よろしくお願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> 解答では
> １６８０／３×２×１＝２８０（通り）
> とあるのですが、なぜそうなるのかが分かりません。
>
> 私は
> ９Ｃ３×６Ｃ３、
> ９×８×７／３×２×１　　×　　６×５×４／３×２×１　＝　１６８０（通り）

正しい答えの方にも質問者さんが出した方の答えにも
1680という数字があるのがポイントです。
途中までは質問者さんの考え方は合っているんです。
ただ、正しい答えの方には÷(3×2×1)がついています。
これの意味を考えます。

問題に出ている9人をA, B, C, D, E, F, G, H, Iと名付けておきます。
そうすると1680通りの組み合わせの中に、
添付図のような6通りのグループ分けが存在します。

質問者さんの計算方法ではこのように、グループに区別がついています。
「A, B, Cがグループ1、D, E, Fがグループ2、G, H, Iがグループ3」というグループ分けと
「A, B, Cがグループ1、D, E, Fがグループ3、G, H, Iがグループ2」というグループ分けが
別物扱いになっているんです。

今回の問題では各グループに区別をつけないでグループ分けしたいので、
1680通り(各グループに区別を付けた場合の組み合わせの数)は不正解となります。
最後に、添付図の6つのグループ分けのような、
「グループに区別を無くすと同じグループ分けになるもの」を
1つにまとめる必要があります。

今回の問題の場合、1680通りの中の6通りが1つにまとまるので、
答えは1680÷6通りで計算できることになります。

正しい答えの中にある(3×2×1)は、
「何通りが1つにまとまるのか」を計算しています。
何故3の階乗になるのかに関しては、
添付図を眺めてみると分かるかもしれません。

ちなみに8人を2人ずつの4組に分ける場合、
組に区別があれば8C2 × 6C2 × 4C2 × 2C2通りです。
組に区別がなければ
(8C2 × 6C2 × 4C2 × 2C2) / (4 × 3 × 2 × 1)通り
となります。

お礼

詳しく説明してくださってありがとうございました。
私の考え方に合わせて教えて下さったのでとても分かりやすかったです！
助かりました！

回答No.1

tomokoich

質問者様のは３組を例えばＡ，Ｂ，Ｃ組と組名をつけて分けた時で
ただの３グループの時は３！で割ります。

お礼

組の区別がない事がポイントだったんですね。
お早いご回答、ありがとうございました。