統計について習ったばかりで困っています。

質問

(1) 長さaの線分AB間に二点、C,Dをとり、CDの長さがｋ以下である確率が1/3とする。ｋの値を求めよ。ただし、点C,Dがどの位置に選ばれるのも確からしく、かつ独立に選ばれるものとする。

(2)Ｘが二項分布Ｂ(12,1/2)に従うとき、Ｐ(|X－m|＝3σ)の値を求めよ。ただし、m＝E(X),σ^2＝V(X)である。

どなたか助けてください。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

(1)
一様分布なので、存在範囲の面積比で確率を計算すればよい。
ACの長さを x ( 0 ≦ x ≦ a)、ADの長さを y ( 0 ≦ y ≦ a ) とする。二次元平面上に (x,y) という点を考えれば、(x,y) は、原点(0,0)、点P (a,0)、点Q (a,a)、点R (0,a) を頂点とする正方形の内部に一様に分布する。
ここで、CDの長さが k 以下より、上の正方形内部において、|x - y| ≦ k となる面積を求めて、それを正方形の全面積 a^2 で割れば目的とする確率が求められる。
|x - y| ≦ k
→　(y≦x) x - y ≦ k , (y≧x) -x + y ≦ k
y≦x かつ x - y ≦ k は、正方形 OPQR の右下（即ち三角形 OPQ)の領域のうち、(k,0), (a,0), (a,a-k) を頂点とする三角形を除いた部分であり、その面積は (1/2) a^2 - (1/2) (a-k)^2 ・・・(1)
y≧x かつ -x + y ≦ k は、正方形 OPQR の左上（即ち三角形 OQR)の領域のうち、(0,k), (a-k,a), (0,a) を頂点とする三角形を除いた部分であり、その面積は (1/2) a^2 - (1/2) (a-k)^2 ・・・(2)
|x - y| ≦ k を満たす領域の面積は (1) と (2) を足して a^2 - (a-k)^2 = 2ak - k^2
故に、CD が k 以下となる確率は、これを正方形の全面積 a^2 で割って、(2ak - k^2) / a^2
これが 1/3 になるのだから
(2ak - k^2) / a^2 = 1/3
を 0 ≦ k ≦ a という条件下で k について解いて、
k = (3 - √6) a / 3

(2)
問題の式がおかしくないですか？
Ｐ(|X－m|＝3σ) ではなくて、Ｐ(|X－m|≦3σ) とか Ｐ(|X－m|≧3σ) とかではないでしょうか？
確率変数 X が二項分布 B(12,1/2) に従う
⇔　P(X=x) = 12Ｃx (1/2)^x (1/2)^(12-x) = 12Ｃx (1/2)^12
二項分布 B(n,p) の平均は n p , 分散は n p (1 - p) であるから、
B(12,1/2) の平均 m は 6, 分散 σ^2 は 12×(1/2)×(1/2) = 3
標準偏差 σ = √（σ^2) = √3

Ｐ(|X-m|≦ 3σ) ・・・ X が 平均 6 に対して ± 3√3 (≒ 5.2) 以内に入る確率（即ち、X = 1 から11 になる確確率）だから、
Ｐ(|X-m|≦ 3σ) = Σ[x=1,11] Ｐ(X=x) = 1 - P(X=0) - P(X=12) = 1 - 2 × (1/2)^12 = 1 - (1/2)^11
Ｐ(|X-m|≧ 3σ) なら X が 平均 6 に対して ± 3√3 (≒ 5.2) の外に
はずれる確率だから、
Ｐ(|X-m|≧ 3σ)　= P(X=0) + P(X=12) = 2 × (1/2)^12 = (1/2)^11

回答No.2

rabbit_cat

高校生ですか？大学生？
どこまで分かっていてどこからわかないのかもう少し書いてください。

(1)
P(|C-D| ≦ k)
の確率分布を求めればいいわけです。横軸にC，縦軸にDをとったグラフを書いてみてC-D平面上のどの範囲が条件にあうかを調べてみるといいかも。

(2) 基本問題に近いんで、どこから説明していいものかわからないです。