超幾何分布

質問

15個の製品から3個の製品を無作為に抜き取ったところ不良品が1個含まれていた。
15個の製品中に不良品が何個含まれていた可能性が最も高いか。
という問題なのですが、解答に5個と書いてありました。

P(X=1) = {xC1 * (15-x)C2}/(15C3) = 3C1x(15-x)(14-x)/15*14*13 ≡ f(x)
と書かれていましたが全くわかりません。ご教示願えませんでしょうか。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

もしまだ見られるようなら参考に。

f(x) = x (15-x) (14-x) / (2!・15Ｃ3)

とおいて、0 ≦ x ≦ 15 において f(x) を最大とする整数 x を求める。
f(x) を微分して極値を考えてもよいのだけど、例えば、
1≦x≦15 の整数について
f(x) - f(x-1) = (3x-16) (x-15) / (2!・15Ｃ3)
故に、x＜16/3 で f(x) - f(x-1) ＞ 0 、16/3 ＜ x ＜ 15 で f(x) - f(x-1) ＜ 0, x=15 で f(15) - f(14) = 0, f(15) = 0
即ち
f(0) ＜ f(1) ＜ ... ＜ f(5) , f(5) ＞ f(6) ＞ ... ＞ f(14) = f(15) = 0
x = 5 のとき最大です。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
とてもわかりやすい解説で、理解することができました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

kumipapa

＞　3個抜き出したときに１個が不良品である確率を最大とする x を求めて・・・

なにやら難しく考えすぎでないかい？

3個抜き出したときに 1 個が不良品である確率が
Ｐ(Y=1) = (x Ｃ 1) ((15-x) Ｃ 2) / (15 Ｃ 3)
　　　　= x (15-x) (14-x) / (2!・15Ｃ3)
となるのは良いのでしょうか。
これを x の関数と見なして、f(x) と置く。
f(x) = x (15 - x) (14-x) / (2!・15Ｃ3)
で、f(x) を最大とする x を求めるのだけれど、製品が15個、そのうち x 個が不良品なのだから、 0 ≦ x ≦ 15 の範囲の整数値で求めることになる。
求め方は f(x) を微分して f(x) の増減を調べてもよし、f(x) - f(x-1) ＞ 0 となる x の範囲を求めてもよし。ただの 3 次関数の話で、高校数I、IIの範囲で求められるのだから、ご自分で考えられるでしょう？

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
とてもわかりやすい解説で、理解することができました。
本当にありがとうございました。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

3個抜き出したときに 1 個が不良品である確率が
Ｐ(Y=1) = (x Ｃ 1) ((15-x) Ｃ 2) / (15 Ｃ 3)
　　　　= x (15-x) (14-x) / (2!・15Ｃ3)
となるのは良いのでしょうか。

これはOKです。

少し自分で考えてみます。
もし今日中にこの質問が閉め切られていなければ、再度ご教示願えませんでしょうか。

回答No.1

kumipapa

示された P(X=1) の式は、超幾何分布の確率そのものですね。
ただ、示された式では、確率変数 X と、15個の製品に含まれている不良品の数 x とが、意味が違うものなのに似た記号を使って示されているのであまりよろしくない。解答どおりなら、その解答を作成した人にもうちょっと気を使って欲しいとお願いしたいところ。

15 個の製品の中に
x 個の不良品
15-x 個の良品
が含まれている。
この15個の製品から 3 個抜き出したとき、その3個に含まれる不良品の数を確率変数 Y で表すと、
Ｐ(Y = y) = 抜き出した3個の中に不良品が y 個含まれる確率
= 15個の製品に含まれる不良品 x 個から y 個が選ばれ、良品 15-x 個から 3-y 個選ばれる確率
∴
P(Y = y) = (x Ｃ y) ( (15-x) Ｃ (3-y) ) / (15 Ｃ 3)
ここで、3個抜き出したとき、１個が不良品である確率は、
P(Y = 1) = (x Ｃ 1) ((15-x) Ｃ 2) / (15 Ｃ 3)
ということです。
これを x の関数と見なして、f(x) （ ＝ 3個抜き出したときに１個が不良品である確率）を最大とする x を求めて、それが、15個の中に含まれる不良品の数として最も可能性が高いと考える、ということなんでしょうね。３個抜き出して１個が不良品なら、１５個のうち５個が不良品である可能性が高いと考えるのはリーズナブルだよ、ということですね。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
とてもわかりやすい解説で、理解することができました。
本当にありがとうございました。

補足

3個抜き出したときに１個が不良品である確率を最大とする x を求めて・・・

というのはどのように求めるのでしょうか？