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確率分布の質問

この問題,次のような解答で合っているでしょうか? 【問題】  母集団が次の確率分布に従う。  P(X=1)=1/5, P(X=2)==2/5, P(X=3)=2/5  この母集団からランダム標本A,B,Cを抽出し,  Y=A+B+Cとする。Yの確率分布を求めよ。 【解答】  P(Y=5)=1/10  P(Y=6)=4/10  P(Y=7)=3/10  P(Y=8)=2/10 数学に詳しい方,ご回答願います。

質問者が選んだベストアンサー

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回答No.3

>サイズ3という部分はもしかして何らかの条件づけになるのでしょうか…? というより、サイズ3をどのような母集団からどのように抽出したかが問題です。 >独立した3回の試行を行った場合 3回の試行で出たXを(x1,x2,x3)で表すとします。 P(Y=3)は(1,1,1)の場合のみ、P(Y=3)=1/5*1/5*1/5=1/125 P(Y=4)は(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)の場合、P(Y=4)=1/5*1/5*2/5 *3=6/125 P(Y=5)は(1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)の場合、P(Y=5)=1/5*1/5*2/5 *3 + 1/5*2/5*2/5 *3 =18/125 同様にしてP(Y=9)まで計算できます。

helloagain2
質問者

補足

ご返信ありがとうございます。  P(Y=6)=32/125  P(Y=7)=36/125  P(Y=8)=24/125  P(Y=9)=8/125 ということですね。 本当に助かりました。

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その他の回答 (2)

回答No.2

なるほど。あなたの考えかたは理解しました。 母集団がどんなもので、抽出の方法も記載されていませんので(例えば復元抽出とか非復元抽出とか)あなたの回答が正しい場合もありますね。 例1:円周が長さ1:2:2に分かれていて、それぞれの部分にX=1,2,3の値が割り当てられているルーレットを考えると、P(X=1)=1/5,P(X=2)=2/5,P(X=3)=2/5になりますよね。その場合3回行うと・・・ 例2:10枚のカードがあって、2枚は1、4枚は2、残り4枚は3が書かれているとして、ランダムに1枚選ぶとすると、やはりP(X=1)=1/5,P(X=2)=2/5,P(X=3)=2/5.そこから3枚同時に選ぶ(非復元抽出)とすると・・・ そうではなく、1枚ひいては元に戻すことを3回おこなう(復元抽出)とすると・・・ 同じ確率分布でも答えが違ってきますね。問題の不備といってしまえばそれまでですが、 単に、「母集団が次の確率分布に従う。」「この母集団からランダム標本A,B,Cを抽出」 と書かれている場合は、私なら(あくまで私見)独立した3回の試行を想定します。

helloagain2
質問者

補足

ご回答ありがとうございます。 問題文には正確には「ランダムにサイズ3の標本A,B,Cを抽出」と書かれているのですが,このサイズ3という部分はもしかして何らかの条件づけになるのでしょうか…? また,独立した3回の試行を行った場合,最終的な解答はどうなるのでしょうか? 重ね重ね申し訳ありませんが,ご回答いただけると助かります。

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回答No.1

あなたがどういう道筋で上記回答を導き出したか教えてくれると有意義な返答ができるのだけれど。 そもそも起こりうるYの値から間違っていると思いますよ。 P(X=1)、P(X=2)、P(X=3)を足すと1になっていますので、Xは1,2,3以外は出ないことは分かります。 Yは3回のXの和ですから、Y=1+1+1=3 ~ Y=3+3+3=9 が起こりうると思いませんか?

helloagain2
質問者

補足

説明が足りずに申し訳ありません。 X=1,2a,2b,3a,3b と考え, それぞれの確率を1/5だと考えました。 この5つから3つを選ぶので5C3=10通り なので,ランダムに取り出される標本は, ・1,2a,2b ・1,2a,3a ・1,2a,3b ・1,2b,3a ・1,2b,3b ・1,3a,3b ・2a,2b,3a ・2a,2b,3b ・2a,3a,3b ・2b,3a,3b の組み合わせとなるので, Yの取り得る値は4,5,6,7なのかと 思ってしまいました。 全く考え方が違うのでしょうか?

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