代数の体の計算問題について、教えてください。

質問

次の問いをご教授願います。
問題
ｘ＝i＋√3と置く。有理数ｋに対して、以下の問いに答えよ
(1)√3を、ｘの３次以下の有理係数多項式で表せ。
(2)iを、ｘの３次以下の有理係数多項式で表せ。
(3)1/2+i＋√3を、ｘの３次以下の有理係数多項式で表せ。
です。

最小多項式が、ｘ＾４－４ｘ＾２＋１６＝０になることは、求められましたが、上記の問題の答えが下のようになる解法手順がわからずに困っています。
(1)√3＝｛－(ｘ＾3)/8｝＋ｘ
(2)i=(ｘ＾3)/8
(3)1/2+i＋√3=－(x^3－2x^2)/16

ご教授願います。宜しくお願いします。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

(1) について

y = 3^(1/2) とする。 x- y = i だから、

　　(x-y)^2+1 = 0
　　x^2 - 2xy + y^2 +1 = 0
　　x^2 - 2xy + 4 = 0
　　y = (1/2) (x^2 + 4 ) *(1/x)

ここで、1/x = (-1/16)x^3 + (1/4)x （参考参照）だから、

　　y = (1/2) (x^2 + 4 ) *((-1/16)x^3 + (1/4)x) = -(1/8)x^3+x

となる（x の 4 次以上の項は最小多項式を使って消せる）。

(2) について

3^(1/2) と i を入れ替えれば、上と同様の方法で計算できる。

(3) について

上の２つの和に 1/2 を足せばよい。

（参考）　1/x の計算

1/x = ax^3 + bx^2 + cx + d とすると、

　　x(ax^3 + bx^2 + cx +d) - 1 = 0
　　bx^3 + (4a+c)x^2 + dx - 16a-1 = 0
　　　　　（最小多項式を使って 4 次以上の項を消した）

となる。x の最小多項式が　4 次だから、左辺の 3 次式が 0 になるためには、各係数が 0 でなければならない。よって、 b = 0 、 4a + c = 0 、d – 0 、16a + 1 = 0 を得る。これから、a、b、c、d が求まる。

お礼

ありがとうございます