差分方程式の解に関する素朴な質問

質問

差分方程式の解法は、線形常微分方程式の解法に似ていることを知ったのですがどうしても納得いかない部分があります。例題を用いて疑問を示します。わたしは、テキストを通して差分方程式の存在を知り、勉強をしています。ふとした事から、このような疑問がわきました。回答待ってます！

定義：演算子EをEf(x) = f(x+1)とする。また、eは自然対数

例題：(E^2 + 7E + 12)y = 0..........(1)

テキストでの解法
y = e^(mx)と仮定する。
式(1)に代入すると、
e^{m(x+2)} + 7e^{m(x+1)} + 12e^(mx) = 0
e^2m * e^mx + 7e^m * e^mx + 12e^mx = 0
e^2m + 7e^m + 12 = 0
(e^m + 3)(e^m + 4) = 0
e^m = -3, -4
ゆえに、
y = C1*(-3)^x + C2*(-4)^x 但し、C1とC2は、任意定数

これがテキストの回答です。
しかし、
e^mが、０未満になることは無いので、e^m = -3, -4を満たすmは、存在しないのではないでしょうか？？分かりません・・・

長々と書いてしまって申し訳ありませんが、誰か分かる人、意見待ってます。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>e^m = -3, -4を満たすmは、存在しないのではないでしょうか？？

mに複素数を許せばいいだけ
e^{iπ+2nπ}=-1だから
e^{log(3)+iπ+2nπ} = -3

まあ，この手の方程式はとにかくどんな手を使ってでも
解らしきものをひっぱりだして，その手法もしくは解の正当性を
考えるのが定石です．
だって，突っ込むならそもそも
>y = e^(mx)と仮定する。
の根拠，ならびに「それ以外の解は？」って問題もあるでしょう
＃この仮定はそれなりに根拠は当然ありますよ．
＃その根拠が分かれば，わざわざ e を経由しなくても
＃(-3)^x とかの由来はすぐ分かります．

お礼

回答ありがとうございます！！複素数についての知識は、まだ十分でなかったので困っていました。e^mxの仮定については、係数が定数なので、無理やり納得していました。eを経由しない解については、今後探してみたいと思います。

回答No.1

koko_u_

そうですね、非常に悪い解答だと思います。

きちんとしたものにするには、複素数の指数関数を導入するか、
行列などを使用する必要があるように見受けられます。

いずれにせよ、実数をなんらかの方向で「拡大」しなければならないでしょう。

お礼

回答ありがとうございます！！
複素数の導入は、うすうす感づいてはいたのですが、具体例が無いので
・・・・？？？でした。テキストの範囲内だけで考えてはいけない事に気づきました。