ｎ次微分に関する問題

質問

f(x)=Arctanx（タンジェントｘの逆関数）

(1)nが自然数のとき、(1+x^2)f(x)^(n+1)+2nxf(x)^(n)+n(n-1)f(x)^n-1=0

(2)nが奇数のとき、f(0)^(n)=(-1)^n-1/2・(n-1)!　　 nが偶数のとき、f(0)^(n)=0を示せ。

(1)は解けたんですが、(2)が解けません。おそらくは(1)を使って解くんだと思います。よろしくお願いします。
ｎ次導関数の表記の仕方がわからなかったので、f(x)のｎ次導関数をf(x)^(n)と表記させてもらいました。

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

(1)が正しいとすればx=0を入れて f(0)=>fなどとすれば
f^(n+1)+n(n-1)f^(n-1)=0
すなわち
f^(n+1)/f^(n-1)=-n(n-1)
nを１つずらして

(1) f^(n)/f^(n-2)=-(n-1)(n-2)
nを２つずらして
(2) f^(n-2)/f^(n-4)=-(n-3)(n-4)
nを２つずらして
・・・・
(1)と(2)を順次掛けていけば解が得られそうです。
nが偶数の時は最後のf^(0)=fとなって０かな。
基数の時は最後のf^(1)=f'となって１かな。
睡眠時間の限界をこえたので無責任ですが
これに．．．て