第ｎ次関数の求め方教えてください

質問

テスト前で困っています。高次導関数教えてください。

次の関数の第2次導関数を求めよ。
（１）１/（√（1-ｘ＾２）） （|x<1|）
(2)(sinx/x)(x≠0)

次の関数の第ｎ次関数を求めよ。
（１）ｘ＾（２）ｌｏｇｘ （ｘ＞０）
（２）ｅ＾（ｘ）ｓｉｎｘ
（３）ｓｉｎｘ
（４）ｌｏｇ（1+ｘ） （ｘ＞-1）
（５）ｃｏｓ（ａｘ） ａは定数
（６）ｘ＾（2）ｅ＾（-ｘ）
（７）ｘ＾（３）ｌｏｇｘ （ｘ＞０）

たくさんあるのですが、何回か微分をした後、ｎ次にどのようにあらわすのかがわかりません。
テストの過去問とか、問題集の問題で、途中の過程が全然調べられないので教えてください。

回答No.7

FT56F001 · ベストアンサー

>加法定理をどのように使うのかがわかりません。
>加法定理でばらした値を微分した値にどのように合わせていったら良いのでしょうか？

sinxのn次導関数をy(n)と書くと，
n=0,4,8,12,16,・・・のときy(n)=sinx
n=1,5,9,13,17,・・・のときy(n)=cosx
n=2,6,10,14,18,・・・のときy(n)=-sinx
n=3,7,11,15,19,・・・のときy(n)=-cosx
です。これらをまとめて，y(n)=sin(x+nA)と表せるといいな。という問題です。

加法定理によりsin(x+nA)=sinx*cos(nA)+cosx*sin(nA)です。この式がsinxと等しくなるためには，
sinxの係数cos(nA)=1で，cosxの係数sin(nA)=0だったらいいですね。つまり，
n=0,4,8,12,16,・・・のときcos(nA)=1,sin(nA)=0
n=1,5,9,13,17,・・・のときsin(nA)=1,cos(nA)=0
n=2,6,10,14,18,・・・のときcos(nA)=-1,sin(nA)=0
n=3,7,11,15,19,・・・のときsin(nA)=-1,cos(nA)=0
となるAが見つかればよいのですね。かつ，
どんなxに対してもsin(x)=sin(x+4A)とならなければなりません。

Aがどんな値だったら，当てはまりますか?　
三角関数の単元を見直すなり，単位円を描くなりすると，見えてくると思います。

回答No.6

FT56F001

>やっぱり（２）（３）（５）がわからないので、教えてください。
>ｓｉｎをｃｏｓに変えるときとかわかりません。

n次導関数を求める問題で，(3) f=sinxがもっとも基本の問題です。その次が(5)　f=cos(ax)かな。
他はだいぶ難しいので，まず(3)番だけをしっかりと身につけてください。

まず微分の公式，(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinxは基本ですから覚えて下さい。
続いて，1階微分，2階微分，3階微分，4階微分を作っていきます。
4回微分すると，元の関数sinxに戻ってしまいますね。
ですから，5階微分したものは1階微分したのと同じ，6回微分したものは2階微分したのと同じ，
5回，9回，13回，17回，21回・・・・微分したものは1回微分したcosx，
6回，10回，14回，18回，22回・・・・微分したものは2回微分した-sinx，
7回，11回，15回，19回，23回・・・・微分したものは3回微分した-cosx，
8回，12回，16回，20回，24回・・・・微分したものは4回微分したsinx，
と同じになります。
すなわちnを4で割った余り(0,1,2,3)で場合分けができます。

微分の話としては，ここで終わりです。ただし，場合わけで書くのは面倒なので，式を1本にまとめます。このとき三角関数の公式を使います。加法定理sin(A+B)は知っていますね。これを使って，nの場合分けが全部表せる式を作ればよいのです。少しヒラメキが要るかな。むしろこんな形だっけ，と覚えておいて定数を当てはめるくらいかな。
すなわちsinxをn回微分したn次導関数をsin(x+An)と表せると仮定し，Aを探してみます。
上で得た場合分けの式と合うようにする，というのが，三角関数の性質の復習をかねて，勉強になりますよ。4階微分すると元に戻るのだから，sin(x+4A)=sinxとなって欲しい。するとAに関する条件ができますね。後はsin(x+A)，sin(x+2A)，sin(x+3A)を加法定理でばらしてみて，それぞれがcosx，-sinx，-cosxになればいいのです。sin(π/2)，sinπ，cos(π/2)，cosπなどの値は，分かりますね。

補足

加法定理をどのように使うのかがわかりません。教えてください。加法定理でばらした値を微分した値にどのように合わせていったら良いのでしょうか？

回答No.5

takuna1113

ワ～ドがないので、回答だけ、あってるかしらないので、自分でも、考えてくださいねぇ。答えは、３が、わたしの回答です。（７）ｘ＾（３）Iogｘ（ｘ＞０）＝21＞０より数が大きいとか、数字というのは、いくらでもでてきます、なので、自分なりの、計算方法を考えてください。ただし、あなたの、テストなのですから、丸写し、駄目ですよ。

回答No.4

FT56F001

>(1)(1-x^2)^(-3/2)+3/4(1-x^2)^(-5/2)になり答えと合いません。なぜでしょうか？
y'=x*(1-x^2)^(-3/2)ですね。
積の微分(fg)'=f'g+fg'のfg'の項で，
(1-x^2)^(-3/2)の微分は(-3/2)(1-x^2)^(-5/2)*(-2x)であり，これに前のxをかけます。
ですから，(1-x^2)^(-3/2)+3x^2(1-x^2)^(-5/2)になるはずです。

>(2)三角関数がよくわかりません。
三角関数の微分は教科書にありますよね。商の微分の公式と組み合わせてください。

[たくさんあるので基本的なものだけ]
>(3)f'=cosx
>f''=-sinx
>f'''=-cosx
>f(4)=sinxをどのように考えてｎを見つけたらよいのでしょうか？
f(8)かf(12)まで計算してみてください。nを4で割った余り(0,1,2,3)で分類できませんか?

>(4)f'=1/(1+x)
>f''=-1/(1+x)^2
>f'''=2/(1+x)^3
>f(4)=-6/(1+x)^4をどのように考えてｎを見つけたらよいのでしょうか？
まず，(1+x)の指数(^の後の数字)と微分した回数nはどんな関係式で表せますか?
符号+1,-1は，微分階数nとどんな関係ですか?
係数1,1,2,6,24,120,・・・は，どんな組み立てで出来た数ですか?

>5)f'=-sinax
>f''=-cosax
間違いがあります。cos(ax)を微分すると，-sin(ax)ではなく-a*sin(ax)です。
(3)番　cos(x)の応用です。

>(1)f=x^2*log(x)
>f'=x(2logx+1)
>f''=2logx+3
>f'''=2/x となり関係がつかめません。
f,f',f''までは例外で，log(x)が残っています。
分数だけになった後，f(3),f(4),f(5),f(6)・・・と計算すると，規則が見えてきます。
(7)番　x^3*log(x)も同様で，log(x)が残っているf(3)までは例外，f(4)以降は規則があります。

補足

やっぱり（２）（３）（５）がわからないので、教えてください。
ｓｉｎをｃｏｓに変えるときとかわかりません。

ｓｉｎｘとか三角関数で知っておくことってどんなことが必要ですか。
傾向をつかむときには、微分した答えは、くくらない方が傾向が見えてくるのでしょうか？「

回答No.3

FT56F001

>何回か微分をした後、ｎ次にどのようにあらわすのかがわかりません。
何回か微分して規則を見つけ出し，あてはまる一般式を予測して確かめる，という手順です。
たくさんあるので一例だけ。

y=x^2*e^(-x)
y'=2x*e^(-x)-x^2*e^(-x)
y''=2*e^(^x)-2x*e^(^x)-2x*e^(-x)+x^2*e^(-x)
=(2-4x+x^2)*e^(-x)
y(3)=(-4+2x)*e^(-x)+(-2+4x-x^2)*e^(-x)
=(-6+6x-x^2)e^(-x)
y(4)=(6-2x)e^(-x)+(6-6x+x^2)*e^(-x)
=(12-8x+x^2)*e^(-x)
以下，n回微分をy(n)と書きます。

このくらい並べて，規則を探します。
y(n)=f(n)*e^(-x)
f(n)はxの二次式で，
x^2の係数は±1でnの偶数奇数で変る。

そこで
f(n)=a_n+b_n*x + x^2*(-1)^n
とおきます。
y(n+1)=f'(n)*e^(-x)-f(n)*e^(-x)
=(b_n　+　2x*(-1)^n　-　a_n　-　b_n*x　-　x^2*(-1)^n
=f(n+1)*e^(-x)
なので，
a_(n+1)=b_n-a_n
b_(n+1)=2*(-1)^n-b_n
の漸化式が作れます。

b_0=0から始めてb1=2,b2=-4,b3=6,b4=-8なので
b_n=2n*(-1)^(n-1)
と表せそうだと分かります。
つづいてa_0=0から始めてa1=0,a2=2,a3=-6,a4=12,a5=-20,a6=30,a7=-42
なので，a_n=(-1)^n*n*(n-1)と書けそうだと分かります。

よってn回微分の一般項は，
y(n)={n*(n-1)-2nx+x^2}(-1)^n*e^(-x)
と表せそうです。

最後に数学的帰納法で，この一般項を確認します。
n=0とおくと，y(0)=x^2*e^(-x)となり元の関数と一致。
y(n)の微分=d/dx[{n*(n-1)-2nx+x^2}(-1)^n*e^(-x)]
=(-2n+2x)(-1)^n*e^(-x)-{n*(n-1)-2nx+x^2}(-1)^n*e^(-x)
=(-1)^n*e^(-x)*{-2n+2x-n(n-1)+2nx-x^2}
=(-1)^(n+1)*e^(-x)*{2n+n(n-1)-2(n+1)x+x^2}
=(-1)^(n+1)*e^(-x)*{(n+1)n-2(n+1)x+x^2}
=右辺でn+1とおいたy(n+1)の形

よって，一般的にn階微分が
y(n)={n*(n-1)-2nx+x^2}(-1)^n*e^(-x)
と表せることが確認できました。

[蛇足]
高校数学としては範囲を超えますが，複素数を使うと
ｅ＾（ｘ）ｓｉｎｘの高階微分は一発で出来ます。
(d/dx)^n{e^xsin(x)}=(d/dx)^n{Im[e^(x+jx)]}=Im[(1+j)^n*e^((1+j)x)]
=Im[2^(n/2)e^((1+j)x+njπ/4)]=2^(n/2)*e^x*sin(x+nπ/4)

補足

(1)(1-x^2)^(-3/2)+3/4(1-x^2)^(-5/2)になり答えと合いません。なぜでしょうか？
(2)三角関数がよくわかりません。

(1)f'=x(2logx+1)
f''=2logx+3
f'''=2/x となり関係がつかめません。
(2)f'e^x(sinx+cosx)
f''=2e^xcosx
f'''=2e^x(cosx-sinx) となり関係がつかめません。三角関数をどう考えればよいのでしょうか？

(3)f'=cosx
f''=-sinx
f'''=-cosx
f(4)=sinxをどのように考えてｎを見つけたらよいのでしょうか？
(4)f'=1/(1+x)
f''=-1/(1+x)^2
f'''=2/(1+x)^3
f(4)=-6/(1+4)4をどのように考えてｎを見つけたらよいのでしょうか？
(5)f'=-sinax
f''=-cosax
f'''sinax
をどのように考えてｎを見つけたらよいのでしょうか？三角関数の使い方がわかりません。

(7)f'=x^2(3logx+1)
f''=x(6logx+5)
f'''=6logx+11
f(4)=6/xをどのように考えてｎを見つけたらよいのでしょうか？
解説いただいた問題をノートにやってみたのですが、自分で解くとなると難しいです。
教えてください。特に、三角関数がわかりそうでわかりません。お願いします。

回答No.2

rnakamra

初めの二つの2次導関数を求める問題は単なる計算問題ですのでここでは答えません。
質問者の回答の添削であれば応じる可能性はあります。

n次導関数を求める問題は次の二通りに分かれます。
1.とにかく何回か計算すれば簡単に結論が得られるもの
2.ある種の関係を見出し、出てくるであろう項の係数をnの数列と見なし、その数列の漸化式を導くもの

(1),(3),(4),(5),(7)は1.のパターン、(2),(6)は2.のパターンでしょうか。
分かる人には一目でわかるものですが、分からない場合は少なくとも3回は微分してみないと分かりません。

回答No.1

Tacosan

「何回か微分をした後、ｎ次にどのようにあらわすのかがわかりません」ということなので, まずは「何回か微分をした」結果を見せてください.