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第n次導関数についてです。お願いします。
1/(1-x)^n の第n次導関数についてです。 おそらくn乗を1*(1-x)^(-n)にして考えていくと思うのですが、微分していってもまとまりがつかなく困っています。簡単な問題で申し訳ございませんが力を貸してください。お願いします。
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>(1-x)^(-n) nを10位にして1回、2回,3回,…,10回と微分すれば類推が付くと思います。 一般式を立てて、その式をでnを3,4,5,…と変えて正しいか検証して下さい。 n(n+1)…(2n-1)(1-x)^(-2n) ={(2n-1)!/(n-1)!}/(1-x)^(2n) となります。 nを色々当てはめてみて検証してみてください。 正しいことが確認できるでしょう。
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- abyss-sym
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n*(n+1)*(n+2)*(n+3)・・・(n+k) =1*2*3・・・n*(n+1)*(n+2)*(n+3)・・・(n+k)/1*2*3・・・(n-1) となることを利用します。
お礼
わかりました。ありがとうございました!
- good777
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1/(1-x)^n =(1-x)^(-n) (ーn)(1-n)^(-n-1)(1-x)´ =n (1-n)^(-n-1) =n/(1-n)^(n+1)
お礼
ありがとうございます。 しかし、よくわかりません。お手数ですがもう少し言葉を入れていただけたら嬉しいです。余裕があればお願いします。
- koko_u_
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>おそらくn乗を1*(1-x)^(-n)にして考えていくと思うのですが そうです。 まとまりのつかない状態で良いので、得た解を補足欄へどうぞ。
補足
y=(1-x)^(-n) y’=(-n)*(1-x)^(-n-1) y”=(-n)*(-n-1)*(1-x)^(-n-2) y'”=(-n)*(-n-1)*(-n-2)*(1-x)^(-n-3) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ このような感じになりますが、-+は(-1)^nのようにまとめようとすることは出来ますが、(n-1)*(n-2)*…のようにまとまりが見えてきません。お願いします。
お礼
最初(2n-1)!/(n-1)!に変換するところと、単純な合成微分で過ちがありました。無事よく分かりました。ありがとうございました。