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第n次導関数についてです。お願いします。

1/(1-x)^n の第n次導関数についてです。 おそらくn乗を1*(1-x)^(-n)にして考えていくと思うのですが、微分していってもまとまりがつかなく困っています。簡単な問題で申し訳ございませんが力を貸してください。お願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.4

>(1-x)^(-n) nを10位にして1回、2回,3回,…,10回と微分すれば類推が付くと思います。 一般式を立てて、その式をでnを3,4,5,…と変えて正しいか検証して下さい。 n(n+1)…(2n-1)(1-x)^(-2n) ={(2n-1)!/(n-1)!}/(1-x)^(2n) となります。 nを色々当てはめてみて検証してみてください。 正しいことが確認できるでしょう。

katsuo-sa
質問者

お礼

最初(2n-1)!/(n-1)!に変換するところと、単純な合成微分で過ちがありました。無事よく分かりました。ありがとうございました。

その他の回答 (3)

  • abyss-sym
  • ベストアンサー率40% (77/190)
回答No.3

n*(n+1)*(n+2)*(n+3)・・・(n+k) =1*2*3・・・n*(n+1)*(n+2)*(n+3)・・・(n+k)/1*2*3・・・(n-1) となることを利用します。

katsuo-sa
質問者

お礼

わかりました。ありがとうございました!

  • good777
  • ベストアンサー率28% (36/125)
回答No.2

1/(1-x)^n =(1-x)^(-n) (ーn)(1-n)^(-n-1)(1-x)´ =n (1-n)^(-n-1) =n/(1-n)^(n+1)

katsuo-sa
質問者

お礼

ありがとうございます。 しかし、よくわかりません。お手数ですがもう少し言葉を入れていただけたら嬉しいです。余裕があればお願いします。

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.1

>おそらくn乗を1*(1-x)^(-n)にして考えていくと思うのですが そうです。 まとまりのつかない状態で良いので、得た解を補足欄へどうぞ。

katsuo-sa
質問者

補足

y=(1-x)^(-n) y’=(-n)*(1-x)^(-n-1) y”=(-n)*(-n-1)*(1-x)^(-n-2) y'”=(-n)*(-n-1)*(-n-2)*(1-x)^(-n-3) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ このような感じになりますが、-+は(-1)^nのようにまとめようとすることは出来ますが、(n-1)*(n-2)*…のようにまとまりが見えてきません。お願いします。

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