積分の問題です。

質問

∫[+∞,-∞](1/x)dxという積分の問題があるのですが、これはどのように解けば良いのでしょうか？
広義積分だと解釈しても、分割する区間によって極限値が変わっていく気がします。

手解きの程、宜しくお願い致します。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

質問者さんに習って、以下、∫[a,b] f(x) dx は b から a までの積分とします。

広義積分において、例えば
∫[+∞,-∞] f(x)dx = lim[R→∞]∫[0,-R]f(x)dx + lim[R→∞]∫[R,0]f(x)dx
　　　= lim[R→∞] [F(x)][0,-R] + lim[R→∞][F(x)][R,0]
とたとき、右辺の２つの積分の lim[R→∞] は互いに無関係に、別々に極限が存在しなければなりません。これを、
∫[+∞,-∞] f(x)dx = lim[R→∞]∫[0,-R]f(x)dx + lim[R→∞]∫[R,0]f(x)dx
　　　= lim[R→∞] { ∫[0,-R]f(x)dx + ∫[R,0]f(x)dx } ←　こうするのは間違い
　　　= lim[R→∞] { [F(x)][0,-R] + [F(x)][R,0] }
　　　= lim[R→∞] { F(R) - F(-R) }　　・・・　(2)
とするのは誤りです。このような混乱を避けるために、教科書などでは
∫[+∞,-∞] f(x)dx = lim[R1→∞]∫[0,-R1]f(x)dx + lim[R2→∞]∫[R2,0]f(x)dx
　　　= lim[R1→∞] [F(x)][0,-R1] + lim[R2→∞][F(x)][R2,0]
のように、２つの極限で使うパラメタを別の名前に設定している場合も多いようです。(2)の考え方では、R1 = R2 という特別な条件のもとで R1 = R2 →∞ の極限を考えることになりますので、広義積分の定義を満たしません。
区間[a,b] の積分で、x = c (a ＜ c ＜ b) で不連続な場合も同じです。
∫[b,a]f(x) dx = lim[ε1→+0] ∫[c-ε1,a]f(x) dx + lim[ε2→+0] ∫[b,c+ε2]f(x) dx
の右辺の極限 ε1 → 0 と ε2 → 0 は互いに無関係に 0 に近づけることを考えなければなりません。つまり、ε1, ε2 ＞ 0 をそれぞれどのように 0 に近づけようと極限が定まるというのでなければ、広義積分は値が定まらないのです。

＞　∫[-∞,-1](1/x)dxと∫[1,+∞](1/x)dxに関して、limR→∞にすると、
＞　limR→∞∫[-R,-1](1/x)dx,∫[1,+R](1/x)dxになって、奇関数なので同値で消えて、[-1,0)、(0,1]区間も同じ感じです。
＞　ただ同値になって消えるというのがあまり根拠がないので、・・・
その懸念はその通りだと思います。
∫[-1,-∞] (1/x) dx = lim[R→∞]∫[-1,-R](1/x)dx = lim[R→∞][log|x|][-1,-R] = lim[R→∞]{ log|-1| - log|-R| } = - ∞
∫[+∞,1] (1/x) dx = lim[R→∞]∫[R,1](1/x)dx = lim[R→∞][log|x|][R,1] = lim[R→∞]{ log|R| - log 1 } = + ∞
ですから、∫[-1,-∞] (1/x) dx + ∫[+∞,1] (1/x) dx を考えたとして、
∫[-1,-∞] (1/x) dx + ∫[+∞,1] (1/x) dx = - ∞ + ∞　（不定である）
とするのが正しく、
1/x が奇関数だから∫[-1,-∞] (1/x) dx + ∫[+∞,1] (1/x) dx = 0 とか
∫[-1,-∞] (1/x) dx + ∫[+∞,1] (1/x) dx
= lim[R→∞]{∫[-1,-R] (1/x) dx + ∫[+R,1] (1/x) dx }
= lim[R→∞] { log|-1| - log|-R| + log|R| - log1 }
= lim[R→∞] 0
= 0
とするのは誤りです。
[-1,0), (0,1] の区間についても同様です。
∫[0,-1] (1/x) dx + ∫[1,0] (1/x) dx = lim[a→+0]∫[-a,-1] (1/x) dx + lim[b→+0]∫[1,b] (1/x) dx = -∞ + ∞ （不定である）
が正しく、
∫[0,-1] (1/x) dx + ∫[1,0] (1/x) dx
= lim[a→+0] {∫[-a,-1] (1/x) dx +∫[1,a] (1/x) dx }
= lim[a→+0]{log|-a| - log|-1| + log 1 - log a }
= 0
とするのは誤りです。上の不定となる例では (a,b)　→ (0,0) において、a, b　は互いに無関係に (0,0) に近づくことを考えているのに対して、下の = 0 になってしまう間違った例では、a = b の特殊な条件下で (0,0) に近づくことを考えていることに注意です。
なお、a = b → 0 の場合、即ち、
∫[1,-1] (1/x) dx = lim[a→+0] {∫[-a,-1] (1/x) dx +∫[1,a] (1/x) dx } = 0
というのはコーシーの主値（積分）と呼ばれるものですが、コーシーの主値が極限を持つが、広義積分が不定になる例というのが、1/x という関数だということですね。

回答No.4

kumipapa

ごめんなさい。訂正です。
#2 の下の方で、
＞　∫[1,-1] (1/x) dx = lim[a→+0] {∫[-a,-1] (1/x) dx +∫[1,a] (1/x) dx } = 0
＞　というのはコーシーの主値（積分）と呼ばれるものですが、
lim[a→+0] {∫[-a,-1] (1/x) dx +∫[1,a] (1/x) dx } = 0
は[-1,1]区間の積分におけるコーシーの主値ではありますが、これを ∫[1,-1] (1/x) dx と等号で結ぶのは明らかに誤りでした。

補足

大変解りやすい説明をありがとうございました。
やはり直観的に解釈するのは危険だと改めて感じました。

それぞれの区間で不定になる、つまり一般的な広義積分では計算出来ないことは解りました。
コーシー主値について、調べてみたいと思います。

本当にありがとうございました。

回答No.2

kumipapa

なるほど、です。

＞　例えば、-∞と-1、-1と0、0と+1、+1と+∞に分けると0になると思うのですが、
どういう計算をしたら 0 になったのか、計算式そのものを示してみて頂けませんか？そうすれば、具体的にアドバイスできると思います。

何にも恥ずかしがることはありませんし、悪いこともありません。

補足

∫[-∞,-1](1/x)dxと∫[1,+∞](1/x)dxに関して、limR→∞にすると、

limR→∞∫[-R,-1](1/x)dx,∫[1,+R](1/x)dxになって、奇関数なので同値で消えて、[-1,0)、(0,1]区間も同じ感じです。
ただ同値になって消えるというのがあまり根拠がないので、どちらかというと、収束しない(0,1]区間に分けるほうがまだ厳密性があるのかなぁ？と自分では感じてますが・・。

回答No.1

kumipapa

1/x は奇関数だから、∫[+∞,-∞](1/x)dx = 0 と間違えて欲しいのでしょうかねえ・・・。

＞　広義積分だと解釈しても、分割する区間によって極限値が変わっていく気がします。
どのように分割したら、どのように極限値が変わってしまいますか？
ご自分の計算された内容を具体的に補足欄に掲載してくださいな。
基本、それが答えになるはずですが。

補足

例えば、-∞と-1、-1と0、0と+1、+1と+∞に分けると0になると思うのですが、
-∞と0、0と+1、+1と+∞に分けると、0と+1は発散してしまうので定義出来ない、のような感じでしょうか。

理解不足でしたらすみません。