広義積分の問題です

質問

広義積分∫ｓｉｎｘ/ｘ^α　ｄｘは０＜α＜２ならば収束することを示せ。またこの積分は１＜α＜２のときのみ絶対収束することを示せ。ただし積分区間は0～∞とする。まったくわからないので丁寧に教えてくれればありがたいです。よろしく御願いいたします。

回答No.6

nuubou · ベストアンサー

後半：
０≦ｘ≦πでｓｉｎ（ｘ）≦ｘと
０≦ｘ≦π／２で２・ｘ／π≦ｓｉｎ（ｘ）と
｜ｓｉｎ（ｘ）｜≦１と
ｋを自然数としたとき
∫（（ｋ＋１）・π～（ｋ＋２）・π）ｄｘ・２／ｘ＾α＝
∫（ｋ・π～（ｋ＋１）・π）ｄｘ・２／（ｘ＋π）＾α＜
∫（ｋ・π～（ｋ＋１）・π）ｄｘ・２／（（ｋ＋１）・π）＾α＝
∫（ｋ・π～（ｋ＋１）・π）ｄｘ・｜ｓｉｎ（ｘ）｜／（（ｋ＋１）・π）＾α＜
∫（ｋ・π～（ｋ＋１）・π）ｄｘ・｜ｓｉｎ（ｘ）｜／ｘ＾α
により
∫（０～π／２）ｄｘ・（２／π）／ｘ＾（α－１）＋∫（２・π～∞）ｄｘ・２／ｘ＾α ＜
∫（０～π／２，π～∞）ｄｘ・｜ｓｉｎ（ｘ）／ｘ＾α｜
＜∫（０～∞）ｄｘ・｜ｓｉｎ（ｘ）／ｘ＾α｜＜
∫（０～π）ｄｘ・１／ｘ＾（α－１）＋∫（π～∞）ｄｘ・１／ｘ＾α
により明らか

前半：
［１＜α＜２のとき］
後半の証明参照
［０＜α≦１のとき］
ｋを自然数としてａ［ｋ］≡∫（０～ｋ）ｄｘ・ｓｉｎ（ｘ）／ｘ＾αとする
ｍ，ｎを０＜ｍ＜ｎである自然数として部分積分をし
ａ［ｎ］－ａ［ｍ］＝∫（ｍ～ｎ）ｄｘ・ｓｉｎ（ｘ）／ｘ＾α＝
－［ｃｏｓ（ｘ）／ｘ＾α］（ｍ，ｎ）－ α・∫（ｍ～ｎ）ｄｘ・ｃｏｓ（ｘ）／ｘ＾（α＋１）
ｍ→∞ならば
｜ａ［ｎ］－ａ［ｍ］｜＝｜∫（ｍ～ｎ）ｄｘ・ｓｉｎ（ｘ）／ｘ＾α｜
≦１／ｍ＾α＋１／ｎ＾α＋∫（ｍ～ｎ）ｄｘ・α／ｘ＾（α＋１）
＝１／ｍ＾α＋１／ｎ＾α－１／ｎ＾α＋１／ｍ＾α＝２／ｍ＾α→０
によりａ［ｋ］はコーシー列である
従ってｌｉｍ（ｋ→∞）・ａ［ｋ］＝∫（０～∞）ｄｘ・ｓｉｎ（ｘ）／ｘ＾αは収束する