ある数列の収束値を教えてください

質問

『基礎解析』や『微分・積分』で数列を勉強していたのはもはや20年近く昔のことなので、すみませんが、わかる方がいましたら教えてください。今まで数学とは無縁に近かったのですが、突然、仕事で必要になって困っています。

a系列とb系列の2つの数列があるとします。
a系列は a, a-r(a-b), {a-r(a-b)}-r[{a-r(a-b)}-{b-r(b-a)}], ... , ?
b系列は b, b-r(b-a), {b-r(b-a)}-r[{b-r(b-a)}-{a-r(a-b)}], ... , ?
a!=b(aとbは等しくない)で、0<a<1, 0<b<1, 0<r<1です。

これら2つの数列の収束する値をa,b,およびrを使って表現できるでしょうか。
なんとなく(a+b)/2になると思っているのですが、
もしそうならば、なぜそうなるのか教えていただけると嬉しいです。
ひょっとしてこれは、なんか名前がついているような有名な数列でしょうか?
よろしくお願いいたします。

回答No.1

ringohatimitu · ベストアンサー

a系列の一般項をA(n)、b系列の一般項をB(n)で表します。このとき書き下してある数項を見る限りおそらく次の漸化式が成り立っているものと思われます：

A(n+1)=A(n)-r(A(n)-B(n))
B(n+1)=B(n)-r(B(n)-A(n))
A(1)=a
B(1)=b

これが正しいとすればすべてのｎについて
A(n)+B(n)=a+bで一方の式に代入すれば

A(n+1)=(1-2r)A(n)+r(a+b)

が得られます。これによって定められる数列はa,b,rに対する条件から収束し極限値をｘとすれば
x=(1-2r)x+r(a+b)が成り立つので求める極限値は予想通りの(a+b)/2です。

お礼

ありがとうございました。
完全に理解できました。
漸化式の表記法さえ忘れていて、すみませんでした。
書いていただいた漸化式、その通りです。
収束値ではなく極限値というんですね。

この結果を日本人でないボスに報告したいのですが、
数列、一般項、漸化式、収束、極限などといった
数学用語の英訳がわかるようなサイトをご存知ないでしょうか。

補足

すみません、いろいろ考えていたら、また疑問がわきましたので、わかったら教えてください。
毎回rの値が変わりうるとします。
r(n)と表記できるでしょう。
つまりもう一つの数列があると考えてもいいでしょうか。
0 < r(n) < 1 です。
この場合、
A(n+1)=A(n)-r(n)(A(n)-B(n))
B(n+1)=B(n)-r(n)(B(n)-A(n))
A(1)=a
B(1)=b
となるわけですが、計算してゆくと、
r(n)が消えてしまいますよね。
つまり、A(n)とB(n)については、r(n)に依存することなく、
A(n)+B(n)=a+b
が成り立ち、
極限値は(a+b)/2になるということでしょうか。

回答No.9

eatern27

＞経験的に、r(n)は小さいほど頻度が大きくなります。
＞1/2どころか、1/4さらには1/8よりずっと小さいのが普通と考えた方が自然です。
＞しかしまれに大きな値を取ることがあります。

r(n)は何らかの確率分布(?)に従っていると思うのですが、

この確率分布がnによらない(と期待できる)のであれば、ほぼ確実に(a+b)/2に収束するかと思います。(lim|1-2r(n)|=1とは考えにくいので)

一方、nが大きくなるほどこの確率分布が小さい方に傾く(nが大きいほどr(n)が小さくなる)傾向にあるのならば、一概には言えませんが、(a+b)/2以外の値に収束する可能性もありますね。

また、
＞しかしまれに大きな値を取ることがあります。
この「大きな値(1/2に近い値)」が割とたくさんあれば、A,Bは、ほぼ(a+b)/2に一致しますので、(厳密には違うとしても)、(a+b)/2に収束すると考えてもあまり問題はないと思います。

お礼

> この確率分布がnによらない(と期待できる)のであれば
sporadicな数なのでnによりません。

> (厳密には違うとしても)、(a+b)/2に収束すると考えてもあまり問題はないと思います。
どうもありがとうございました。

回答No.8

eatern27

#5です。一応、納得されたようなので、いいかもしれませんが、訂正です。
(誤)「r(n)=0の場合、漸化式は」
(正)「r(n)=1の場合、漸化式は」
(この後も、「r(n)>0なので」とか色々出てきますが、「r(n)>1なので」などと上手く直して解釈してください。失礼しました。)

＞実際のr(n)は、ランダムに変わる数です。
＞そこで数学の弱い僕は、コンピュータでシュミレーションしたみることにしました。
＞すると、(a+b)/2に収束するようなのですが、

細かいことは省きますが、

A,Bが(a+b)/2以外の値に収束する、または、振動するには、lim[n→∞]|1-2r(n)|=1である事が必要です。
(このうち、lim[n→∞]r(n)=0であれば、(a+b)/2以外の値に収束する可能性がある。

これ以外の場合は、全て(a+b)/2に収束します。
↑↑↑↑↑↑↑
この「これ以外の場合」の中には、例えば、
「1/4<r(n)<3/4を満たすnが無数に存在する場合」が含まれます。おそらく、JF1Msfさんの想定している"ランダム"には、上のような事が成り立っている期待できるのではないでしょうか？(おそらく、全体のおよそ"半分"が1/4<r(n)<3/4を満たしているでは？)

もし、そうなら、AもBも(ほぼ)確実に(a+b)/2に収束することでしょう。

例えば、JF1Msfさんの想定している"ランダム"では、
r(1)+r(2)+・・・+r(n)+・・・
も∞に発散することが予想されるのではないでしょうか？
しかし、r(n)を上手く選べば、これは収束しますよね。
"∞に発散"と"0に収束"という違いはありますが、これと同じようなイメージだと思います。

補足

ありがとうございます。
r(n)の値がどうなるかは、現在、科学的に解明されていない機構で起こる現象なので、人は値を予測できません。
しかし、1でもなく0でもなく、それらの間の値を取ることは確実です。
経験的に、r(n)は小さいほど頻度が大きくなります。
1/2どころか、1/4さらには1/8よりずっと小さいのが普通と考えた方が自然です。
でも、決して0にはなりません。
しかしまれに大きな値を取ることがあります。
こんな状況ならば(a+b)/2に収束することは自明なように思えてきましたが、
これをいかに数学で表現できるかが今の問題点です。

回答No.7

ringohatimitu

無作為という定義はよく分かりませんがその選び方がたまたま０に収束する列だったということではないでしょうか。無限積が０に収束するかどうかは乱数というものがどのように生成されているかによります。無作為に選んだ列が1/3,2/3,1/3,2/3・・・だったら収束しませんし、1-2r(n)=1-2^(-n)となるr(n)が選ばれればその無限積は０ではないある正の数に収束します。また素数列p(n)（n番目の素数を表します、ある意味ランダム的かもしれませんが）に関連して1-2r(n)=1-p(n)^(-2)で定義されるr(n)が選ばれればその無限積はζ(2)=π^2/6の逆数すなわち6/π^2に収束します。

お礼

たびたびすみません。
(a+b)/2+α(a-b)/2の件、理解できました。
おかげさまでかなりいいところまでたどり着けました。

しかし、これはある自然現象を数学のモデルを立てて説明しようとしているわけで、
純粋にかつ厳密に数学の解を求めることが目的ではありません。
無作為ということは、数学的にそのような特異的なことがおこるように作為的に数列を選ばないというような意味でしょうか。
久しぶりにきれいな数学の世界を見させていただいて、たいへん感謝しております。
このご回答の最後の部分が意味不明なのですが、
気になる時には、また質問を仕切り直しますので、
その時はまた、よろしくお願いいたします。

回答No.6

ringohatimitu

すみません、＃４の回答の最後で同じ極限値(a+b)/2に収束すると書きましたが(a+b)/2+α(a-b)/2に訂正します。ここでαは(1-2r(1))(1-2r(2))・・・(1-2r(n))のｎ→∞のときの極限値です。

補足

前回のご回答、良く分かりました。
ありがとうございました。
本当に助かります。
この回答に書かれている(a+b)/2+α(a-b)/2まで追えていないのですが...
r(n)は0<r(n)<1の間で本当に無作為に変わりうる実数です。
そこで、コンピュータでこんなことをやってみました。
r(n)のために乱数を発生させ、(1-2r(1))(1-2r(2))・・・(1-2r(n))のnを大きくしていくと、どうやらαは0に収束しそうです。
(僕の生きている世界では数学で極端に厳密に議論する必要もありません)
つまり、AもBも(a+b)/2に収束しそうです。
これ(r(n)はランダム)をある程度、数学で表現できないものでしょうか。

回答No.5

eatern27

#4さんの仰る通り、

＞A(n+1)=A(n)-r(n)(A(n)-B(n))
＞B(n+1)=B(n)-r(n)(B(n)-A(n))
で与えられる数列A(n),B(n)が収束するかは、
(1-2r(1))(1-2r(2))・・・(1-2r(n))
が収束するかどうかによります。
0<r(n)<1という条件では、
例えば、1-2r(n)=-(1/2)^(1/2^n)となるようにr(n)を選んだ場合など、
振動するようにr(n)が選べるので、一般には収束しません。

これは、直感的にはどういうことかというと、
r(n)=0の場合、漸化式は
A(n+1)=B(n)
B(n+1)=A(n)
のようになり、AとBを繰り返し入れ換えているだけなので、AとBの距離は縮まりませんし、AもBも収束しません。

0<r(n)なので、r(n)=0にはならないのですが、r(n)をほぼ0に一致させれば、同じようなことになりそうですよね。
このような場合が、振動している場合です。

AとBの大小が入れ替わる、という状況を想定していないのなら、1/2<r(n)<1という事になります。この場合はAもBも必ず収束します。(ただし、(a+b)/2に収束するとは限らない)

AとBの大小は入れ替わってもいいが、とにかく収束させたいのなら、
inf{r(n)|n∈N}>0
つまり、ある正の実数R(<1)に対して、R<r(n)<1が成り立つ、という条件にすれば、AもBも必ず収束します。(こちらも(a+b)/2に収束するとは限らない)

補足

ありがとうございました。
収束しないという理由が良く分かりました。
実際のr(n)は、ランダムに変わる数です。
そこで数学の弱い僕は、コンピュータでシュミレーションしたみることにしました。
すると、(a+b)/2に収束するようなのですが、
このことを数学である程度表現できないものでしょうか。

回答No.4

ringohatimitu

それでは具体的に書き下してみます。
よくある変形の仕方で扱っている漸化式は次の形になります：

A(n+1)-(a+b)/2=(1-2r(n))(A(n)-(a+b)/2)

ここでX(n)=A(n)-(a+b)/2とおくと結局

X(n+1)=(1-2r(n))X(n)

の漸化式を考えてることになります。
さらにこれから一般項は
X(n+1)=(1-2r(1))(1-2r(2))・・・(1-2r(n))X(1)
となることが分かります。
この収束先、すなわちｎ→∞のときを考えるわけですがそのとき一般項に無限積が現れることに気づかれると思います。これはr(n)の与えられ方によっては収束しません。例えば1/3,2/3,1/3,・・・という数列がr(n)であるとすれば一般項で＋、－と振動するので収束先はありません。一方で収束するr(n)というのもたくさん存在します。もっとも顕著な場合があるｍでr(ｍ)=1/2となればX(n)はｍ以降のｎに対しすべて０です。これはA(n)がｍ以降のｎに対して(a+b)/2であることを示しています。
いずれにせよ上の無限積が収束するr(n)が与えられればA(n),B(n)はそれぞれ収束しかつその極限値は同じ値
(a+b)/2です。

回答No.3

ringohatimitu

補足に対する回答です。
その場合A(n)+B(n)=a+bは正しいですがrもｎに依存しているのでA(n)が確定するためにはもうひとつ漸化式が必要です。A(n+1)=(1-2r)A(n)+r(a+b)の式だけではA(n)が適当に振動するようにr(n)をとることができるのでA(n)が収束するとは限らなくなります。

補足

たびたびすみません。
0 < r(n) < 1
でも成り立たないのでしょうか。
A(n+1)=A(n)-r(n)(A(n)-B(n))
の意味するところは、
次のAを、現在のAとB値の差よりも小さい分だけ(r(n)をかけることにより)、Bのほうに近づけるということのように思われるので、
いずれにせよ、AもBも何らかの値(AとBにはさまれている値)に収束するように、
直感的に感じるのですが。

回答No.2

pyon1956

＞数学用語の英訳がわかるようなサイトをご存知ないでしょうか。
ここ
http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi
で検索するか、
http://mathworld.wolfram.com/
http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/writing.html
http://www.qmss.jp/qmss/glossary/default.htm
このへんで調べるか。

もっとも上司が英語圏の人なら一冊ぐらい辞典を持っていた方がいいのかも。
おすすめは
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4320012828/249-7932277-6597123
このあたりかな？

お礼

ありがとうございます。
知りたい単語はどうやらここで全てそろいそうです。
僕もボスも、もちろん高校3年生程度の数学までならば、
しっかり勉強してきた人だと思っていますが、
なんせ今は、お互い数学とは無縁の世界に生きています。
ところが、ある現象をこの数列に当てはめられるということにふと気付きました。
数学の偉大さを改めて感じました。