位置ベクトルの意味がわからない

質問

もちろん教科書も読みましたが原点ＯからＡまでをaベクトル、Bまでをbベクトル,Cまでをcベクトルとする・・・

だから何って感じなんですが・・・自分には単なる言い換えのようにしか思えないんです。

回答お願いします。

回答No.4

mesoneer · ベストアンサー

私は位置ベクトルというものは考え方を簡単にするためのものだと考えています

どういうことかと言うと、
・原点Oや点Aとして扱うときは点Bや点Cも同じく座標として考える
・点Aを位置ベクトルaとして考えるときは点Bや点Cも位置ベクトルbやcとして考える
という考え方で統一することによって、その後の計算を座標もしくはベクトルのどちらか一方に絞ることができるということです。

もちろんそれは概念的なものであって、実際は質問者様の言われる通り「単なる言い換え」だという考え方は合っていると思いますし、私もそう思います

なので、原点Oや点Aという考え方をいったん捨ててかわりに位置ベクトルというものを持ってきた結果、元の原点Oや点Aのことを考えなくてよくなったと割り切るのがいいのではないでしょうか

お礼

ベクトルというのは忘れてaベクトル＝点Ａの座標というように
別のものと考えるということですね！？

そう考えてみます。

回答ありがとうございました。

回答No.3

sanori

＃１の者です。
今思い出しましたが、高校数学で重要な例がありました。

それは、線分ＡＢを内分する点を表すことです。

ＯＢ→　＝　ＯＡ→　＋　ＡＢ→
ですよね？
つまり
ＡＢ→　＝　ＯＢ→　－　ＯＡ→　＝　ｂ→　－　ａ→
です。

そして、（図を描くとすぐわかりますが）
線分ＡＢを内分する点の位置ベクトルは、
ＯＡ→　＋　ｔＡＢ→
ただし、０≦ｔ≦１
です。

線分ＡＢの内分点の位置ベクトル　＝　ＯＡ→　＋　ｔＡＢ→
　＝　ａ→　＋　ｔ（ｂ→　－　ａ→）
　＝　（１－ｔ）ａ→　＋　ｔｂ→

というわけで、ベクトルを使えば、簡単に求まります。

回答No.2

R_Earl

その名の通り、位置を表すベクトルです。
aベクトルは点Aの位置を表し、bベクトルは点Bの位置を表します。
始点が統一されているので、各点の位置関係も把握できます。

位置ベクトルは必ず原点を始点に取るので、
位置ベクトルの成分は、終点の座標を表しています。
aベクトルの成分は点Aの座標ですし、bベクトルの成分は点Bの座標です。

> だから何って感じなんですが・・・自分には単なる言い換えのようにしか思えないんです。

結局はただのベクトルなんですけどね。
「点の位置(座標)をベクトルで表したもの」と考えても良いかもしれません。
わざわざ点の位置(座標)をベクトルで表現する必要は無いように感じるかもしれませんが、
座標で考えるより、矢印で考えた方が分かりやすいこともあります。

お礼

座標というのは原点から考えてですか？普通に座標上で考えてですか？

回答No.1

sanori

こんばんは。

＞＞＞
だから何って感じなんですが・・・自分には単なる言い換えのようにしか思えないんです。

なるほどね。

では、こういう問題が出たら、どうしますか？
「直線ＯＡに垂直な直線を表す方程式を求めよ」

公式はあるんですけどね。
しかし、ベクトルで考えることによって、説明が楽になることは度々あるんです。

ちなみに、ベクトル同士が垂直である条件は、ベクトル同士の内積がゼロであることです。
Ａ→　＝　（ａ１、ａ２）
Ｂ→　＝　（ｂ１、ｂ２）

両者が垂直である条件は、
Ａ・Ｂ　＝　０
つまり、
ａ１ｂ１　＋　ａ２ｂ２　＝　０
変形すると
ａ２／ａ１　＝　－ｂ１／ｂ２　＝　－１／（ｂ２／ｂ１）
すなわち、
ある直線（傾きはａ２／ａ１）に垂直な直線の傾き（ｂ２／ｂ１）は、元の直線の傾きの逆数を取ってマイナス１をかけたものである、
ということがわかります。

これは、ほんの一例です。
位置をベクトルで考えることにより、視界が開けることは、度々あります。