法線ベクトルの基礎中の基礎

質問

度々お世話になります。

直線のベクトル方程式とその法線ベクトルの関係で、
「直線ax+by+c=0において、n↑=(a,b)はその法線ベクトルである」との事ですが、このn↑=(a,b)というのは、成分表示ですから、n↑の始点を原点Oに取って、その終点の座標が(a,b)である、という捉えで良いのでしょうか。
例えば、次の基本的な問題

問 「二直線x+√(3)y-1=0…(1)、x-√(3)y+4=0…(2)について、
a,直線(1)(2)の法線ベクトルm↑、n↑のなす角θ。
b,二直線(1)(2)のなす鋭角α。
をそれぞれ求めよ」

を内積を使って計算だけで求めるのは教科書通りにやれば簡単に求まりますが、特に問題のbについて、自分で座標平面に作図してみたら、先の当方の捉え方ですと…
まず、n↑=(1,√(3))、m↑=(1,-√(3))ですから、これをそれぞれ始点を原点に取って、それぞれの座標通りに終点を取りますと、n↑が二直線(1)(2)の内部のm↑と交わらずII象限で交わってしまうのです。
解説を見たところ、bの問題は、円に内接する四角形の定理からαを求めているように見えるので、法線ベクトルn↑は四角形を作るように、m↑と交わらないと定理が成り立たない気がするのです。

という事は、n↑に限らず、法線ベクトルは、普通のベクトル同様に、位置は問題にせず、任意に平行移動しても良いということになるのでしょうか。
　計算間違いがあるかもしれないし、漠然とした内容の質問で申し訳ありませんが、アドバイス下さると有り難いです。
宜しくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

方向ベクトルにしても、法線ベクトルにしても、
書かれているようなイメージでいいと思います。

方向ベクトルは考えている直線が進んでいく方向を表し、
法線ベクトルは考えている直線に対する垂線が進んでいく方向を表しており、
いずれも直線の方向を与えているだけです。

たとえば、直線の方程式が 2x+ 4y- 3= 0であれば、
法線ベクトルは n→＝ (2, 4)と表すことになりますが、
n→＝ (1, 2)としても「その進んでいく方向」は同じであり、これも法線ベクトルと言えます。
さらに、-1を乗じた n→＝ (-1, -2)も法線ベクトルと言えます。
値というよりも「比」がポイントなのです。

「なす角」を考える問題では、質問に書かれているとおり「平行移動」させて構いません。
2直線の交点となる点を原点まで平行移動させているイメージになります。

最後に「方向ベクトル」に関する過去の質問を参考URLとしてつけておきます。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6229779.html

お礼

ご回答ありがとうございました。考えてみれば、法線ベクトルの定義に「任意の点を通る」とはありませんでした。ある直線に対して垂直であることを満たせば、それは法線ベクトルになるわけですね。後は傾き(向きとか方向)の問題になるわけですね。

また、焦らずに過去問も探すように心掛けます。