大学の位相数学の問題についてです。

質問

大学の位相数学の問題についてです。

どなたか下記問題を解いて下さる方お願い致します。解答希望です

以下のXとYが同相でないことを証明せよ
X = { ( x , y ) ∈ R^2 | x^2 + y^2 < 1}
Y = { ( x , y ) ∈ R^2 | x^2 + y^2 < 1 , y ≧ 0}

どなたかよろしくお願いします。

回答No.8

muturajcp

X={(x,y)∈R^2|x^2+y^2<1}
Y={(x,y)∈R^2|x^2+y^2<1,y≧0}
f:X→Y
同相と仮定する
f(a)=O=(0,0),a∈X とすると
∃ε>0( U={z∈R^2||z-a|<ε}⊂cl(U)⊂X )
S=cl(U)-U={z∈R^2||z-a|=ε}
r:X-{a}→S,r(z)=a+ε(z-a)/|z-a|とすると
rは連続だが{a}への連続拡張写像は無い
∃δ>0( V={z∈Y||z|<δ}⊂cl(V)⊂f(U) )
g:Y-V→S, g(z)=r(f^{-1}(z))
h:Y→S, z∈Y-V→h(z)=g(z)
z=(x,y)∈V→h(z)=g(x,√(δ^2-x^2))
とすると
hは連続だから
gはY-VからYへ連続拡張できるが
rはf^{-1}(Y-V)からXへ連続拡張できないから
fは同相でない

回答No.7

Ginzang

No.1の回答者である。

なるほど、私（と回答No.3にあるリンク先の回答）は暗に、Brouwerの領域不変性定理なるものを証明済みとしていたわけか・・・。

とりあえず、No.6の回答の方がより適切と感じられる。
可縮か否かの方が、余程「自明」という言葉に相応しいと思った。

回答No.6

鳴瀬 美幸（@naruse）

初学であろうがなかろうが本問は難題の部類に入ると思う。
集合論的位相幾何の知識のみで解答するのは困難ではないだろうか。

岩波数学辞典から引用
X を R^n の任意の部分集合とし，f を X から R^n の部分集合 f(X) の上への位相写像とする。x が X の内点ならば f(x) の f(X) の内点である。また，R^n の開集合 A が他の集合 B (⊂R^n) に同相であるとき，B も開集合である。（Brouwerの領域不変性定理）

を用いれば X と Y が同相でないことは明白です。これに基づいたものが #1 の回答でしょう。

他としては以下はどうでしょうか。
X と Y は同相であると仮定して，点P(0,0)∈Y に対応する X の点を Q とする。
明らかに，Y－{P} は可縮であるが X－{Q} は可縮では有り得ない。
よって，X と Y は同相ではない。

上述で「明らか」としましたが X, Y が可縮であるか否かは代数的位相幾何の範疇であり，これ自体きちっと示そうとすればけっこう厄介だと思います。

回答No.5

muturajcp

(0,0)はYのR^2に対する境界点ですが、
(0,0)はYのYに対する境界点ではありません。
境界点の有無だけからは同相でないとはいえないのではないでしょうか?

回答No.4

Ginzang

>No.3
添削できるならしてもらって構わない。
もちろん、できないのなら添削しないのも構わない。

私は真実に対しては怒らない（怒れない）。
一方、不確実なことを言う人に対しては補足・訂正を入れるし、私が不確実なことを言ってしまったらその訂正は素直に受け入れる。それだけだ。
これまでも、自分の無知を恥じながらも、しばしばそうしてきた。

ここの様な質問サイトで一番大切なのは、他の回答者におもねる事ではなく、質問者の為になることであると思っている。

若干の誤解の為に質問者には全く関係のない「回答」をせざるを得なくなったことは、遺憾に思う。
お許し願いたい。

回答No.3

alice_44

あれ？
http://okwave.jp/qa/q6017479.html
とは、質問者が違う…　謎だ。

向こうの A No.3 に沿う貴方の答案を補足に書けば、
こちらのスレッドでも添削はしますよ。
他人の回答をとやかく言うと怒られるから、
こっちの A No.1 の添削はしませんが。

回答No.2

Tacosan

この問題って, 最近流行ってるのかなぁ?
結論はわかっているんだから, 「同相でない」ことを示すには何が言えればいいのかと逆にたどっていくのが簡単.

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6017479.html

回答No.1

Ginzang

背理法を用いる。同相であると仮定し、矛盾を導く。

XとYが同相ならば、XからYへの同相写像fが存在する。
ここで、fによってY上の原点O(0,0)に写るX上の点Aを考える。
すると、近傍 A_ε = {P|AP<ε} の全体がXに含まれるような正の実数εを考えることができる。

このとき、この近傍A_εも、写像fによって、Y上の原点Oを含む開集合f(A_ε)に写るはずである。
しかし、OはYの境界上の点であるので、Y上のOを含む開集合というものは存在しないのであり、ここに矛盾がある。

よって、XとYが同相であるという仮定は間違いであることが示された。