線形微分方程式について

質問

参考書にこのような問題があります、

カッコ内の一組の関数は、与えられた微分方程式の基本解であることをしめせ、（解の確認は直接代入、一次独立性はロンスキアンを用いよ）
x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0
[xcosx,xsinx]

この問題はまずどのようにして解いていけばよいかわかりません、参考書をみても。
おしえてください。

回答No.3

alice_44

問題文の括弧内に略解が書いてあるにもかかわらず、
参考書を見ても指示どおり処理できなかったということは、
かなり重篤です。
持っている本がよくないのか、貴方に読む能力がないのか、
早急に判定して、今後の対策をしたほうがいいでしょう。
お手元の「参考書」を、誰か身近な人に見てもらって、
相談するべきだと思います。

回答No.2

Knotopolog

＃１さんの回答でいいのですが，詳細に書くと，

x^2y''－2xy'＋(x^2＋2)y＝0 の解を y1 と y2 とする．
[xcosx, xsinx] の１つをとって，計算すると，

y1＝x cosx
(y1)'＝cosx－x sinx
(y1)''＝－sinx－(sinx＋x cosx)

x^2(y1)''－2x(y1)'＋(x^2＋2)y1＝
＝x^2(－sinx－(sinx＋x cosx))－2x(cosx－x sinx)＋(x^2＋2)x cosx＝
＝－x^2 sinx－x^2(sinx＋x cosx)－2x cosx＋2x^2 sinx＋x^3 cosx＋2x cosx＝
＝－x^2 sinx－x^2 sinx－x^3 cosx－2x cosx＋2x^2 sinx＋x^3 cosx＋2x cosx＝0

となります．したがって，y1＝x cosx は１つの解です．
次に，y2 を計算すると，

y2＝x sinx
(y2)'＝sinx＋x cosx
(y2)''＝cosx＋cosx－x sinx＝2cosx－x sinx

x^2(y2)''－2x(y2)'＋(x^2＋2)y2＝
＝x^2(2cosx－x sinx)－2x(sinx＋x cosx)＋(x^2＋2)x sinx＝
＝2x^2 cosx－x^3 sinx－2x sinx－2x^2 cosx＋x^3 sinx＋2x sinx＝0

となります．したがって，y2＝x sinx も１つの解です．

ロンスキアンは，

Ｗ(x)＝ ｜ y1　　　 y2｜
　　　　｜(y1)'　　(y2)'｜

Ｗ(x)＝ ｜x cosx　　　　　x sinx　　　　｜
　　　　｜cosx－x sinx　　　sinx＋x cosx｜

Ｗ(x)＝ x^2

なので，Ｗ(x)＝０ でないから一次独立です．
なお，一般解は，c1 と c2 を積分定数として，

y＝c1 x cosx＋c2 x sinx＝x(c1 cosx＋c2 sinx)

で与えられます．

回答No.1

dame_dame_

括弧の中でいわれているとおりにやればいいと思います

y=xcosxを代入すると
y'=cosx-xsinx
y''=-2sinx-xcosx
より
x^2y''-2xy'+(x^2+2)
=-2x^2sinx-x^3cosx-2xcosx+2x^2sinx+x^3cosx+2xcosx
=0
y=xsinxも同様
よって解となる

ロンスキアンは
W=xcosx(xsinx)'-(xcosx)'xsinx
=x^2cos^2x+x^2sin^2x
=x^2
これは常にはゼロでないから二つの解は一次独立である