定数係数２階線形微分方程式

質問

勉強していたら、

y"-4y'+5y=xe^(2x)cosx

という問題がありました。この特殊解を求めたいのですが、どのようにもとめるのでしょうか？
私は、特殊解をy_s=e^(2x)(ax+b)(csinx+dcosx)とおいて代入していったのですが、途中で式がめちゃくちゃになってしまいました。何かいい方法はないでしょうか？分かる方回答お願いします！

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

y=ze^(2x)とおいてzの微分方程式をつくれば少しはくわんたんになる。

回答No.2

Suue

求めるべき方程式の解を求める前に、
ｙ’’－４ｙ’＋５ｙ　＝　０
の一般解を求めてください。それを求めるのがこの方程式を解く前に行うものです。
上の方程式の一般解が、ａｆ（ｘ）＋ｂｇ（ｘ）　（ａ、ｂは任意定数、ｆ、ｇは線形独立な関数）と求まったら、
ｖ’’（ｘ）－４ｖ’（ｘ）＋５ｖ（ｘ）　＝　ｘexp(２ｘ)cosx　
（ｖは、ｆ、ｇと線形独立）
となるような関数ｖ（ｘ）を見つけてあげると、もとの方程式の一般解は
ｙ　＝　ａｆ（ｘ）＋ｂｇ（ｘ）＋ｖ（ｘ）
となります。

このｖ（ｘ）の求め方ですが、参考書に書いてあると思いますが、この場合は解を予想するのが難しいので、ロンスキー行列式を用いればいいでしょう。

特殊解を求めたい場合は、問題文にある初期条件または境界条件を満たすように、定数ａ、ｂの値を定めてください。