期待値の求め方で質問があります。

質問

大学生です。

家庭教師で、期待値の問題を高校生に教えていたところ、疑問に思ったことがあります。

「ａ個の赤玉、ｂ個の白玉の中から、同時にｐ個取り出すときの赤玉の期待値を求めなさい。」という問題についてですが、本来の解法だと

(ａCp/a+bCp)*p + (aCp-1*bC1/a+bCp)*p-1 + (aCp-2*bC2/a+bCp)*p-2 +　…………　+ (aC1*bCp-1/a+bCp)*1

というように、確率×個数の総和をとりますよね。

ところが、その子は、赤玉の個数÷すべての玉の個数×取り出す個数として、(a/a+b)*p　といきなり答えを出していました。

私はその解法が間違っていると指摘して、正しい解法を教えたのですが、この子のやり方でも常に正しい答えが出てしまいます。

これは、上のように一般化したときの計算結果が、(a/a+b)*p　になるからなのでしょうか？

私には上の式が計算できません。どなたか、答えがちゃんと(a/a+b)*pになると、教えていただければ幸いです。（計算過程は入力が大変ですので、結果だけそうなると言っていただければ安心できます）

また、この問題の答えが、赤玉の個数÷すべての玉の個数×取り出す個数　で求められるとしたら、この考え方を言葉で説明（数式ではなくて）することはできないでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

念のため、
n ≧ m,　n Ｃ m = n! / ( m! (n - m)! )
n ＜ m,　n Ｃ m = 0
また、
n+m≧p,　Σ[i=0,p] (n Ｃ i) (m Ｃ p-i) = n+m Ｃ p

p個取り出したときの赤玉の数の期待値をすっごく丁寧に計算すると
Σ[i=0,p] { i (a Ｃ i) (b Ｃ p-i) / (a+b Ｃ p) }
= Σ[i=1,p] [ { i a! / ( i! (a-i)! ) } (b Ｃ p-i) / (a+b Ｃ p) ]
= Σ[i=1,p] a (a-1)! / ( (i-1)! (a-i)! ) } (b Ｃ p-i) / (a+b Ｃ p) ]
= (a / (a+b Ｃ p)) Σ[i=1,p] (a-1 Ｃ i-1) (b Ｃ p-i)
= (a / (a+b Ｃ p)) Σ[j=0,p-1] (a-1 Ｃ j) (b Ｃ p-1-j)　　（j=i-1 とおいた）
= a (a+b-1 Ｃ p-1) / (a+b Ｃ p)
= p a / (a+b)

全数の中で赤玉の含まれる割合は a / (a+b) なのですから、そこから何個取り出してこようが、取り出した玉の中に含まれる赤玉の割合が a / (a+b) になるであろうと期待するのは正しいということですし、そういう結果になることこそが、「無作為に取り出す」ということなのでしょう。もし、赤玉が含まれる割合の平均値が a / (a+b) にならないのならば、無作為に取り出したのではない、ということ。直感的には、そりゃそうだろうね、ということなんでしょうが、言葉だけできちんと理解できるように説明するのは結構難しそうです。

お礼

わざわざ証明までしていただき、本当にありがとうございます。

教え子には、回答者様のおっしゃるように、「ｐ個とりだすうち、a/a+b個は期待してよいから」と答えておくことにします。

ただ、確かに厳密な説明ではなく、腑に落ちない感じはしますね…

数式を言葉で表現するっていうのは大変なことなんですね…

回答No.5

kumipapa

ｐ個取り出す→ｐ回の試行の合計
という考え方もできますが、今回の問題のようなケースではｐ回の試行は独立試行にはなりません。よって、そのｐ回の試行をベルヌーイ試行だとして二項分布を持ち出してきて説明することはできません。質問者さんが示された確率からも二項分布でないことは明らかでしょう。
私が何か勘違いしているのでしたら、失礼。

お礼

コメントありがとうございます。

おそらく、前に回答していただいた方へのコメントだと思うのですが、私は文系なので、ベルヌーイ試行といわれてもさっぱり……すみません。

回答No.4

kamiyasiro

メーカーの品質管理部に勤務する統計家です。

なかなかテキストでは表現できなくて皆さんご苦労なさっているようです。
リンク先に、証明があります。
下のほうです。

参考URL：

http://econom01.cc.sophia.ac.jp/sda/04/binomial.htm

お礼

回答ありがとうございます。

URLまで紹介していただき、本当にありがたいです。

ただ、残念なことに私は文系で、学部も法学部なので、何が書かれていることやら……

回答No.2

seahorse57

「和の期待値が期待値の和」になることを利用すれば正しいといえるのではないでしょうか。

確率変数X[i]を
X[i]=0(i番目の玉が白)、1(i番目の玉が赤)
と設定する。すると

E(X[i])=1*P(i番目が赤)=(a/a+b)

なのでこれを1からpまで足して

求める期待値は　ap/(a+b)

これでは言葉で説明したことになりませんね・・・

参考URL：

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch01/node69.html

お礼

回答ありがとうございます。

文系なので、一読しただけではよくわかりませんが、参考URLも含めてじっくり考えさせていただきます。

回答No.1

Quattro99

自身ありませんが。

「1個取りだしたときの赤玉の期待値」：「1個とりだしたときの白玉の期待値」はa:bです。
従って、
「1個とりだしたときに残っている赤玉の期待値」：「1個とりだしたときに残っている白玉の期待値」もa:bです。
すると、
「2個取りだしたときの赤玉の期待値」：「2個取りだしたときの白玉の期待値」もa:bで、
「2個とりだしたときに残っている赤玉の期待値」：「2個とりだしたときに残っている白玉の期待値」もa:bです。
ですから、
「p個取りだしたときの赤玉の期待値」：「p個取りだしたときの白玉の期待値」もa:bです。
「p個取りだしたときの赤玉の期待値」と「p個取りだしたときの白玉の期待値」の和は当然pですから、
「p個取りだしたときの赤玉の期待値」は、(a/a+b)*pとなります。

お礼

回答ありがとうございます。

私には、この説明が正しいかどうかはわかりませんが、直感的にはそうだな、と納得しました。生徒にも話してみます。