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袋から赤玉白玉を取り出す時の期待値と確率の計算
- 袋から赤玉白玉を取り出す時の期待値を計算する問題です。
- 袋から赤玉と白玉が2個ずつ入った袋から、玉を2個同時に取り出す時の白玉の出る個数の期待値を求めます。
- 期待値の計算には確率を利用し、1個だけ白玉の場合の数と2個とも白玉の場合の数を考慮します。最終的に、白玉が出る個数(1個または2個)の期待値は5/6になります。
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確率の計算をなぜそんなにややこしくやっているのでしょうか。しかも、間違っています。 全ての組み合わせが6通りで、白玉が1個だけ出る（もう一つは赤玉）組み合わせが4通りと求めたのですから、白玉が1個だけ出る確率は4/6=2/3です。 同様に、白玉が2個出る確率は1/6です。 > 2個から1個取り出した玉が白である確率2C1/4C2=1/3 とされていますが、意味がわかりません。分母は2個選んでいるのに分子は1個しか選んでいません。そもそも「2個から1個」の2個ってなんでしょうか？ > 1/3×1/3=1/6 それ以前が間違っているので意味がありませんが、1/3×1/3は1/9です。 > 1個だけ白玉の出る期待値 この表現自体がおかしいです。 白玉の個数の期待値は、 「0個白玉が出るときの白玉の個数」×「0個白玉が出る確率」 ＋ 「1個白玉が出るときの白玉の個数」×「1個白玉が出る確率」 ＋ 「2個白玉が出るときの白玉の個数」×「2個白玉が出る確率」 です（一番上は個数が0ですから確率を掛けても0になるので確率を計算するまでもなく省略できます）。
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- Quattro99
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> こじつけになるかも知れませんが > 1/3+1/3=2/3 > このやり方は成り立ちませんか。 成り立ちません。 > 確率の総和は > 2/3+1/6=5/6 それは総和ではありません。白玉が0個出る確率（赤玉が2個出る確率）が足されていません。
お礼
なるほど ＞白玉が0個出る確率（赤玉が2個出る確率）が足されていません。 ありがとうございました。
- Quattro99
- ベストアンサー率32% (1034/3212)
説明が長くなるので、□を3つ、○を2つの計5つを並べる場合で説明します。 ABCとxyの計5文字を並べる並べ方は5P5=5!通りです。 ここで、ABCを区別しない場合を考えます。 つまり、ABCxy、ACBxy、BACxy、BCAxy、CABxy、CBAxyは同じと考えるということです。ABCの並べ替えは3P3=3!通りあります。最初の5!通りの中には、□□□xyの□にABCが入っているものにもABCが並べ替えられたものが3!通りありますし、□□x□yの□にABCが入っているものにも3!通りあります。ですから、5!を3!で割ればABCを区別しない場合の並べ方が何通りあるのかが出てきます。 これで□□□xyを並べる並べ方が出ました。しかし、この中には□□□xyもあれば□□□yxもあります。xyを区別しないなら、さらに2P2=2!で割らねばなりません。これで□□□○○を並べる並べ方が出ます。 順列にもいろいろあります。順列だからPという覚え方をするとちょっとひねられるとわからなくなります（ご質問の問題はひねったうちに入らないほど定型的なものです）。 まだ、基本的なことをご理解されていないようです。 このサイトで質問されている問題に取り組むのは無謀と思います。基本を理解せずに応用問題に手を出すのは、結局遠回りすることになりますよ。
お礼
ABCとxyの計5文字を並べる並べ方は5P5=5!通り＝120通り □□□xyの□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) □□x□yの□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) □x□□yの□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) x□□□yの□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) □□□yxの□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) □□y□xの□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) □y□□xの□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) y□□□xの□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) □□xy□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) □xy□□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) xy□□□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) □□yx□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) □yx□□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) yx□□□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) □x□y□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) □y□x□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) x□□y□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) y□□x□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) x□y□□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) y□x□□の□にABCが入っているもの・・3!通り(区別なし1通り=1/3!) よって ABCを区別すれば5!通り＝120通り ABCを区別しなければ5!/3!通り＝20通り 更にxyを区別しなければ5!/(3!*2!)通り＝10通り ありがとうございました。
- naniwacchi
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こんばんわ。 計算については、#1さんが書かれているように赤玉のことも考慮しないといけません。 「期待値」という言葉や公式を見ると、特殊なものに見えますが、 平たく言えば「平均値」のことです。 いまの問題では、「2個玉を引いたときの白玉の個数の平均値」ということになります。 赤玉と白玉の個数が同じなので、平均すれば半分は出るでしょう。というのが数字となって現れます。 宝くじの当選金についても「期待値」を計算することができます。 （宝くじの裏に、何枚中何枚が1等賞といった数字が書かれています） 当選金の期待値を計算すると、それは宝くじ 1枚あたりに払われる「平均の」金額になっています。 （確率から計算するのも、当選金総額を枚数で割ることは同じことになります。） この金額と 1枚の販売金額を比較すると、 （当選金の期待値）＜（販売金額） となっています。そうでないと、売り手が儲からないからです。
お礼
＞「2個玉を引いたときの白玉の個数の平均値」ということになります。 ＞赤玉と白玉の個数が同じなので、平均すれば半分は出るでしょう。 個赤2個、白2個のなかから白2個取り出す平均だから期待値は2 個赤1個、白1個のなかから白1個取り出す平均だから期待値は1 ということですか。 期待値というくらいですから、気持ち的にこのくらいほしいという期待ではなく 論理的にこのくらいになるだろうという「予想を数値化｣したものと考えていいですか。 宝くじは詳しくないですが 100万円ほしいという気持ち的な期待をあらわしたものではなく 当選金の予想される金額ということですか。 わかり易い例でした。 でも実際の答案の計算はどうなるのでしょうか。 先生なりの計算を教えてもらえるとありがたいです。 ありがとうございました。
- Quattro99
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http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5565713.htmlが締め切られていたので、ここで補足しておきます。 > と書かれたので順列がよぎりました。 とありますが、その通り、順列ですよ。 右右右右右上上上の8文字を並べる並べ方は8!ですが、5つの右は区別しないので5!で割ります（それだけダブって数えている）。3つの上も区別しないのでさらに3!で割ります。 結局、8!/(5!*3!)となり、8C3と同じことになります。 いきなり8C3としたのは、考え方を変えて、この問題は8つのマスから上を入れるマスを3つ選ぶ選び方と同じことだと考えたということです（残った5つのマスから右を入れる5つを選ぶ選び方は5C5=1であることが明らかなので省略している）。
お礼
わざわざ知らせてもらってありがとうございます。 また順列と組み合わせの基本ができてないといわれるだけかと思ったので それ以上は答えてもらえそうもなかったので打ち切りました。 その基本というか考え方というか判別の仕方をOKWavewで教えてもらおうと思って投稿しました。 未だにわかりません。 右右右右右上上上の8文字の中から8つを取り出して並べる並べ方は8!=8P8ならわかります。 でも、順列の場合は一つ一つに名前があるというか固有のものを扱うのではと思います。 たとえば 右1 右2 右3 右4 右5 上1 上2 上3 を並べる並べ方は・・というのなら 8P8ですよね。 でも、そういえば 男男男女女女女の5人の並び方の問題もあったような・・ あれっ、先生の区別というのは 右右右右右上上上・・区別してない 右1 右2 右3 右4 右5 上1 上2 上3・・区別している ですか。 そしたら区別しないから5!ぶん重複しているというのは? 右1 右2 右3 右4 右5 右1 右3 右2 右4 右5 右1 右2 右4 右3 右5 つづく これらは全部同じだから重複していると・・なるほど わかます。 でもなぜ5! ? 5個の中から5個取り出してならべる並べ方は5P5=5! なるほど でも5!通りが重複しているのなら割るのではなく引いてのぞくべきなのではと思いますが。 8!-5!-3! なぜ 8!/(5!×3!) なのでしょうか。 逆に8!-5!-3!が答えとするならば、そのときの問題文(考え方)はどのようになるのでしょうか。
- Quattro99
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違います。 1個だけ白玉である場合の数は、2個の白玉から1個（2C1）と2個の赤玉から1個（2C1）を掛け合わせた4通りです。 期待値は1になります。 また、別解として、赤玉と白玉は同数ですから、白玉の個数の期待値と赤玉の個数の期待値は同じです。白玉と赤玉を合わせた個数の期待値は2ですから、白玉の個数の期待値は1です。
お礼
答案では 2個の中から白玉が1である取り出し方は書いてあるけど 残った玉は赤でなければならないから2個の中から赤玉を取り出す取り出し方が抜けていたわけですね。 わかりました。 やり直します。 答案2. 袋から2個取り出す試行によって少なくとも白玉が出る場合の数(定まる値) 1個だけ白玉の場合の数 取り出した2個のうち1個は白玉でなければならないから場合の数は2C1=2通り 取り出した2個のうち残りの1個は赤玉でなければならないので場合の数は2C1=2通り これらは同じ試行の中で行われて、 白玉を選ぶ選び方2通りの、そのおのおのについて、赤玉を選ぶ選び方が2通りずつあるから 積の法則で4通り 2個とも白玉の場合の数 取り出した2個のうち2個とも白玉の場合の数は2C2=1通り 上の試行でのそれぞれの確率(その事象の起こる場合の数／起こりうるすべての場合の数) 起こりうるすべての場合の数=4個の玉の中から2個を取り出す場合の数4C2=6通り 1個だけ白玉の出る確率 2個から1個取り出した玉が白である確率2C1/4C2=1/3 2個から1個取り出した後の残りの玉が赤である確率2C1/4C2=1/3 確率も場合の数と同じように積の法則を使いますか。 白が出る確率、または、赤の出る確率なら1/3+1/3 1個は白でもう1個は赤である確率なら1/3×1/3 後者の感じがするので1/3×1/3=1/6 2個とも白玉の出る確率 2C2/4C2=1/6 1個だけ白玉の出る期待値は 1個だけ白玉の場合の数×1個だけ白玉の出る確率=4×1/6=2/3・・前回計算ミス 2個とも白玉の出る期待値は 2個とも白玉の場合の数×2個とも白玉の出る確率=1×1/6=1/6 白玉がでる個数(1個または2個)の期待値は 2/3+1/6=5/6 となってしまいました。 先生の答え 期待値 1 ではないのですが、ほかにどこかに見落としがありますか。 一つ思い当たるのは 定義からいうと確率の総和は1になるはずなのに答案は 1/6+1/6=1/3 なのでおかしいとは思います。
お礼
間違いを指摘していただきありがとうございます。 計算ミスはありましたが、不得意な場合の数、順列、組み合わせ、確率、期待値に精一杯です。 やり直します。 答案3 ある試行によって定まる値を場合の数(通り)と勘違いしていました。 玉の個数(個)が定まる値ですよね。 だから、始めから誤っていました。 定まる値は 白が1個と白が2個。 あとはそれぞれの確率を求めると 指摘を説明します ＞> 2個から1個取り出した玉が白である確率2C1/4C2=1/3 ＞とされていますが、意味がわかりません。分母は2個選んでいるのに分子は ＞1個しか選んでいません。そもそも「2個から1個」の2個ってなんでしょうか？ 表現を変えます 取り出した2個のうち1個が白である場合の数2C1=2通り 起こりうるすべての場合の数は4C2=6通り 取り出した2個のうち1個が白である確率は2C1/4C2=1/3 取り出した2個のうち1個が赤である場合の数2C1=2通り 起こりうるすべての場合の数は4C2=6通り 取り出した2個のうち1個が赤である確率は2C1/4C2=1/3 これから和の法則か積の法則で二つの確率を結びつけて 白玉が1個だけ出る確率を求めようとしました。 こじつけになるかも知れませんが 1/3+1/3=2/3 このやり方は成り立ちませんか。 上のやり方をやめて ＞白玉が1個だけ出る確率は4/6=2/3 という先生のやりかたで進めます。 1個だけ白玉の場合の数 取り出した2個のうち1個は白玉でなければならないから 場合の数は2C1=2通り 取り出した2個のうち残りの1個は赤玉でなければならないので 場合の数は2C1=2通り これらは同じ試行の中で行われて、 白玉を選ぶ選び方2通りの、そのおのおのについて、 赤玉を選ぶ選び方が2通りずつあるから 積の法則で2C1×2C1=4通り 2個とも白玉の場合の数 取り出した2個のうち2個とも白玉の場合の数は2C2=1通り 白玉が1個だけ出る確率 ( 2C1×2C1)/4C2=4/6=2/3 2個とも白玉の出る確率 2C2/4C2=1/6 期待値の表現がおかしかったので訂正します。 白玉の個数の期待値は、 「1個白玉が出るときの白玉の個数」1×「1個白玉が出る確率」2/3 ＋ 「2個白玉が出るときの白玉の個数」2×「2個白玉が出る確率」1/6 =2/3+1/3 =1 おー、出来ました。 でもここで疑問です。 確率の総和は 2/3+1/6=5/6 ですが ｐ1+ｐ2*・・+ｐn=1 という定義に反しませんか。 ありがとうございました。