三角関数と実数解

質問

2xsinx-3=3が[-1,1]の範囲で、
2つの実数解をもつことを示せ、なのですが
このような三角関数の場合、
どのようにアプローチしてよいのか、見当がつきません。
判別式はどのように用いればよいのでしょうか？

回答No.5

774danger · ベストアンサー

> f(x)=2xsinx-3として、f(0),f(π/2),f(π）の符号からだけ判断することはできるでしょうか？

まずf(x)は連続関数(どこかで値が飛んだりしない)のは明らかですよね
あと、お考えの通り、f(0),f(π/2),f(π)の符号から、[0,π/2]と[π/2,π]の間でそれぞれ解を最低1つは持つことがわかります

ただ、それが1つずつと証明するのがちょっと難しいんですよね
符号が変わるとどこかでx軸と交わる(=解を持つ)と言えるのですが.......
例えば微分して単調増加関数/単調減少関数と言えれば1つと言えますが、区間内で増加/減少を繰り返している関数だと複数解を持つ可能性があるわけで、それがないと証明するのがちょっと難しいんです

あとは、No.4のかたが書かれているように、（2/3)*sinx＝1/xとしてそれぞれy=(2/3)*sinxとy=1/xのグラフを大まかに書いて、
x→0のとき、1/xのグラフのほうが上にある
x=π/2のとき、（2/3）*sinxのほうが上にある (2/3 ＞ 2/π)
x=πのとき、1/xのグラフのほうが上にある
と言うことから、このグラフは[0,π/2]と[π/2,π]でそれぞれ1点ずつで交わるので解を2つ持つ、と言えるかなぁという感じです
(y=sinxのグラフって数IIIじゃないと書けないんでしたっけ?)

基本のアプローチとしては、連続関数で途中で符号が変わる→その区間で解を持つ、でいいとは思うんですが............
何を使っていいのかで回答も変わってきますね

＃解き方が1つと限らないところがおもしろさを感じませんか?

お礼

回答有難うございました。色々なアプローチが考えられるのですね。
数学は得意ではありませんが、おっしゃるとおり、面白い学問だとおもいます。参考にさせて頂きます。

回答No.4

take_5

＞2xsinx=3 区間が[0,π]です。

厳密に証明するには、数IIIまでの知識が必要。
変形して、（2/3）*sinx＝1/xとしてグラフを考えても良いが、そのグラフも困難。
やはり、数IIIまでの知識が必要。数IIIがわかるんだろうか？

補足

数IIIを使うとしたら、三角関数の微分ということだと思うのですが、
この問題は、微分を使わずに示すことが前提になっているようなのです。たとえば、f(x)=2xsinx-3として、
f(0),f(π/2),f(π）の符号からだけ判断することはできるでしょうか？

回答No.3

774danger

実数解を2つ以上持つことを示すのは非常に簡単なのですが、「2つ」となるとちょっと面倒かもしれません
ちなみに、三角関数の微分はできる(習っている)かたですか?

回答No.2

774danger

2xsinx-6=0
xsinx-3=0と変形して、f(x)=xsinx-3と置いてみると、xsinxはこの範囲でどう頑張っても1を超えませんから、f(x)はずっと負のままです
2つどころか1つも解を持ちません
No.1のかたも書かれていますが、書き写し間違いか、問題自体が間違っていると思います

回答No.1

take_5

＞2xsinx-3=3が[-1,1]の範囲で、2つの実数解をもつことを示せ
＞判別式はどのように用いればよいのでしょうか？

問題に転記ミスは無いんだろうか？

補足

すみません。転記を間違えてしまいました。

2xsinx=3 区間が[0,π]
です。

すみません。よろしくお願いします。