実数解と判別式

質問

実数解と判別式
数学の問題をくときによく見かける判別式ですが。その意味がよく分かりません。例えば、
a,bを実数としてP=a^2+b^2+ka+lb+m・・・（k,l,mは定数でいいです。）という式があるときbが実数として存在するようなaの範囲は～・・・みたいなやつです。
そういうとき、bについて降べきの順に並べ替えて判別式～とかってやりますよね。
あれってなんでbについて整理するんですか？aについて整理して判別式を用いた場合とどういう数学的意味の違いが出てくるのでしょうか？そりゃもちろんbについて整理して（二次方程式の形とでも言いましょうか？）判別式を使わないとaについての不等式が出てこないというのは分かりますが。その意味がよく分からないのです。ようは、どの文字に着目して考えていくかということです。
わかりにくくてすみませんよろしくお願いします。

回答No.1

entap · ベストアンサー

a,bは変数なので、何をとってもいいのですが(当たり前です。勝手に決めたんだから)、
例示の場合、勝手に決める中で、bの範囲をある程度限定したいと思惑があるわけです。

例示の式Pは、aとbに関する方程式ですから、aが定まれば、bも定まります。(方程式って一体何ぞや、ということについては、辞書を引いてください。)

さて、式Pを見る際に、bの値を式Pを用いて表現すると、aを用いてbの値が表現できます。
この時、aの値を特定の範囲に限定すれば、うまい具合に、bの値も特定の範囲に限定されます。

(というか、このような形で限定される場合にしか問題にならないと言いましょうか。場合によっては、aの値如何に関わらず、bの値が特定の範囲に絶対にならない場合も存在しますので。)

質問者さんが仰るようにaについてまとめると、bを用いてaの値を表現することになります。無限の計算能力があれば、ここからaが特定の範囲をとるようなbの値を列挙することも不可能ではないと思いますが、まぁ不毛な行為だと思いますよ。

以上で、ご納得いただけますでしょうか。
「方程式」の性質を利用した、一種の演算テクニックであって、それ以上でも以下でもないものです。

回答No.4

sak_sak

>bについて整理するんですか？
「bが実数として存在する」=「bについての2次方程式は、実数解を持つ」
だからです。

降べきだろうが昇べきだろうが、解答者や採点者が見やすいだけで
本質的な意味は無いことは大丈夫ですね?

回答No.3

nattocurry

bが実数として存在するかどうかを判別したい場合、b^2+□b+△=0 に整理して、判別式を使います。
aについて整理して判別式を用いた場合は、aが実数として存在するかどうかを調べられますが、bが実数として存在するかどうかは調べられません。

回答No.2

Quattro99

判別式って二次方程式の解の公式のあの部分ですよ（二次方程式に限って使われる言葉ではないですが）。
あの部分が負になってしまったら虚数解になってしまうということです。ご質問で考えておられることは、ここでいう解とはなんの解なのかを考えればわかると思います。bが実数～の場合は、bを求めようとしたときの解のことです。ですから、bについての二次方程式ととらえて解の公式を当てはめようとするわけです。なのでbについて整理することになります。