ディラック場の反交換関係の計算

質問

ディラック場の反交換関係の計算で、UU†とU†Uが現れるところを、教科書ではすぐにUU†で式をa,a†の反交換関係に持って行っているところがわかりません。UU†＝U†Uなのですか。

回答No.2

grothendieck

uβ†(q;s´)ｕα(p;s)の項は消えません。
ディラックスピノールの規格化は

u†(p)u(p) = v†(p)v(p) = 2p0　(p0はエネルギー)
u†(p)v(-p) = v†(p)u(-p) = 0

です。（例えば九後汰一郎「ゲージ場の量子論I」p.247）

回答No.1

grothendieck

回答したくはないですが...
Uがユニタリ行列ならばU†はＵの逆行列なのでUU†＝U†U=単位行列
となります

お礼

たいへん失礼しました。数式をうまく書けずについはしょってしまいました。
ディラック場をψ＝∫＊＊Σ（a(p;s)u(p;s)exp(-ipx)+b†(p;s)v(p;s)exp(ipx)）
とし（Σはｓ＝1,2、a,bは生成消滅演算子、u,vは平面波解）、生成消滅演算子a,bの反交換関係からψ、ψ†の反交換関係を導くとき、たとえば柏の演習場の量子論（p45)などでも
（以下同時刻）
｛ψα(x),ψβ†(y)｝＝∫＊＊Σ（ｕα(p;s)uβ†(q;s´)｛a(p;s),a†(ｑ;s´)｝exp(-ipx+iqy)+ ・・・・・
といきなりなっており、uβ†(q;s´)ｕα(p;s)の項が消えて、あたかもuαuβ＝uβuαとなっているところがわかりません。基本的な理解ができていないのは確かなのですがせめて数式を追いたくて質問しました。