線型代数の次元に関する証明

質問

いま理系の大学１年の者です。
線型代数の初めのほうに出てくる定理なんですが、証明が載っていないし、証明のやり方も思いつきません。
証明の仕方を教えてください。

Ｗ1、Ｗ2がＶの部分空間であるとき、
Ｗ1⊂Ｗ2、dimＷ1 = dimＷ2　⇒　Ｗ1 = Ｗ2

よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

証明がのってないのは「自明」だからなんだけどなあ。。

とりあえずあなたの採用している「次元」の定理を
書きましょう．
じーっと眺めてると「定義から当たり前」に見えるかも．

もし，どーしても分からないときは
とりあえずは背理法でも使ってみましょう．
＃この問題はそもそも背理法でとくような問題ではないけども
＃困ったときはとりあえず背理法を考えるのもありです．

お礼

はい、当たり前ではあると思うのですが、いざ証明せよといわれるとちょっとやり方が思いつかなかったもので。

＃困ったときはとりあえず背理法を考えるのもありです

とても参考になります。
ありがとうございました。

回答No.4

noname#221368

#2です。#3さんへ。仰るとおりです。なので「有限次元では、」という但し書きを、ここに追加させて下さい。

回答No.3

arrysthmia

全く余談ですが、
「線形空間なら、必ず基底を持つ」
には、選択公理が必要です。
使っても構わないとは思いますが、
避けられるなら避けたほうがよいかと。

回答No.2

noname#221368

#1の仰るように、自明ではりますが、やっぱり最初はコツがつかめませんよね。

　内積が入ってこない限り、線形空間の構造って、「次元」と「基底」しかありません。さらに「次元」＝「基底」と割り切っても、あながち間違いではないと思います。

　・部分空間は線形空間．
　・線形空間なら、必ず基底を持つ（{0}の場合が除きますが、この場合は本当に自明です）．
　・基底の本数＝次元．
　・部分空間は、基底からどうやって作りますか？．

　こんなところで、どうでしょうか？。

お礼

ddtddtddtさんありがとうございます。

今大学で行列、ベクトルを一通り終えて線型空間の分野に入ったばかりなんですが、線型空間はつかみにくく苦労しています。
実はこれレポート問題です。。。

最後の
部分空間は、基底からどうやって作りますか？．

は、本当に参考になりました。
ありがとうございました。