線形空間についての質問です

質問

線形空間Vのある部分空間W₁とW₂についてW₁∩W₂={0}のときdimW₁+dimW₂=dim(W₁+W₂)となることを証明せよ
この問題が分かりません…

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

線形空間Vのある部分空間W1とW2について
W1∩W2={0}の時
n=dimW1
m=dimW2
{e_k}_{k=1～n}をW1の基底
{e_k}_{k=n+1～n+m}をW2の基底
とすると
任意の
u∈W1+W2
に対して
u=v+w
v∈W1
w∈W2
となるv,wがある
{e_k}_{k=1～n}はW1の基底だから
v=Σ_{k=1～n}(a_k)(e_k)
となる(a_k)_{k=1～n}がある
{e_k}_{k=n+1～n+m}はW2の基底だから
w=Σ_{k=n+1～n+m}(a_k)(e_k)
となる(a_k)_{k=n+1～n+m}があるから
u=v+w=Σ_{k=1～n+m}(a_k)(e_k)
となる(a_k)_{k=1～n+m}がある

v+w=Σ_{k=1～n+m}(a_k)(e_k)=0
のとき
v=-w∈W2
だから
v∈W1∩W2={0}
だから
v=Σ_{k=1～n}(a_k)(e_k)=0
{e_k}_{k=1～n}はW1の基底で一次独立だから
(a_k)_{k=1～n}=(0)_{k=1～n}
w=-v∈W1
だから
w∈W1∩W2={0}
だから
w=Σ_{k=n+1～n+m}(a_k)(e_k)=0
{e_k}_{k=n+1～n+m}はW2の基底で一次独立だから
(a_k)_{k=n+1～n+m}=(0)_{k=1～n}
だから
(a_k)_{k=1～m}=(0)_{k=1～m}
だから
{e_k}_{k=1～n+m}は一次独立だから
だから
{e_k}_{k=1～n+m}はW1+W2の基底
だから
dim(W1+W2)=n+m=dim(W1)+dim(W2)
∴
dim(W1)+dim(W2)=dim(W1+W2)

お礼

本当にありがとうございました！