mfckouryuのプロフィール

工学部に在籍してる、大学１年生なんですが、統計学でどうしても分からない問題が課題として出題されました。 問題は白旗慎吾著の統計解析学という本からP90の4.4の問題です。パソコンで記入する上で不都合があるので、少し問題をかえています。 「確率変数UとVはともに一様分布U(0,1)に従い，互いに独立である。X=√(-2logU)×cos(2πV),Y=√(-2logU)×sin(2πV)とおくと，XとYは互いに独立でともに標準正規分布N(0,1)に従うことを示せ．」 （ルートの後の括弧は、その部分がルートの中にあり、「かける」の後はルートの外にあるということです。） その本には、「XとYが独立で、それぞれの密度関数がf(x),g(x)ならUの密度関数は『h(u)=∫f(v)g(u-v)dv=∫f(u-v)g(v)dv (ただし∫は-∞から∞)』と書かれています。また定理に「ヤコビアンを行列式Jとおくと、(U,V)の密度関数は『h(u,v)=f(ψ1(u,v),ψ2(u,v))|J|』」と書かれているので、h(u)とh(u,v)が一致すればXとYの独立が示せると考えました。そこで、ヤコビアンの行列式を計算すると|J|=2π/Uとなり、ここまでは良かったのですが、その後からどうすればいいのかわかりません。XとYの密度関数を求めることができればと思い考えましたが、UとVが入っていてどうしても求められそうもありません。この先をどうすればいいのか教えてほしいのです。 提出日は今週金曜日の１７時なので、できればそれまでに教えてください。よろしくお願いします。