関数解析について

質問

以下の問題で困っています。。どなたか解答をお願いできないでしょうか？

1. X, Y はBanach 空間とする. X からY への有界線形作用素の列{Tj}が有界線
形作用素T に強収束する, すなわち任意のx ∈ X に対しY の要素の列{Tjx}がj → ∞ としたときY の位相でTx に収束するならば, 任意のX のコンパクト
部分集合A に対し, {Tjx}はA 上で一様にTx に強収束する, すなわち
lim{j→1} max(x∈A ) ||Tjx -Tx|| = 0
が成り立つことを示せ.

2. X, Y はBanach 空間, S, T はそれぞれD(S), D(T) を定義域とするX からY へ
の閉線形作用素とする. もしD(T) ⊂ D(S) が成り立つならば, ある正の定数C が
存在して, 任意のx ∈ D(T) に対し
||Sx||Y ≦C(||Tx||Y + ||x||X) が成り立つことを示せ.

回答No.2

grothendieck

２. は
　K.Yosida,"Functional Analysis",6th ed. (Springer)
のp.79, Theorem 2 を参照すると良いでしょう。K.YosidaとT.Katoは標準的とされているので調べるようにしてください。

回答No.1

grothendieck

１. は
　T.Kato,"Perturbation Theory for Linear Operators",2nd ed. (Springer)
のp.151, Lemma 3.7. です。コンパクトでない集合上では、有界線形作用素列が強収束しても一様収束はしないことがあります。
　田辺広城「関数解析:上」P.106(実教出版）