エネルギー軸と時間軸は平行？（単振動の計算より）

質問

高校の時にやった物理の単振動の範囲で、ちょっと計算してみて、疑問がでてきたので質問します。

私は理系の学生ではないので、感覚的な話になってしまうかと思いますが、どうかお付き合いください。

基本的な単振動を考えます。
バネ定数がkのバネに質量mの物体をつけ、単振動させます。このとき、運動方向には単振動によって生じる力しか働きません。またその他の力（摩擦力、空気抵抗など）は一切考えません。
運動方向にx軸をとり、自然長のときのxの値を0とし、xでの速度をvとします。（１次元の運動です。）

プライムは時間微分を表わします。

全エネルギーをEとして、エネルギー保存則より、

(1/2)mv^2+(1/2)kx^2=E

式変形をしていきます。
mv'=-kxですから、kx=-mv'より、

(1/2)mvx'-(1/2)mv'x=E

すると、外積の形を利用して、

(1/2) (mv,x,0)×(mv',x',0)=(0,0,E)

mv=p（運動量）として、

(1/2) (p,x,0)×(p',x',0)=(0,0,E)

のようになるかと思います。

横軸をp,縦軸をxとした（p,x）平面を考えてると（縦軸と横軸とで単位？が違う直交座標です。）、点（p,x）の軌道は楕円軌道を描くと思います。そして、点（p',x'）の軌道も楕円軌道を描く思います。そして、原点（0,0）、点（p,x）、点（p',x'）を結ぶ三角形の面積がEの大きさであり、Eの方向は原点（0,0）から（p,x）平面に垂直の方向だと思います。

ここで、（p,x）平面に対して、時間軸を考えると、原点（0,0）から（p,x）平面に垂直の方向が一番自然な感じがするんです。（感覚的な話で申し訳ありません。）時間軸も考えると、点(p,x)が楕円のらせんを描くような感じです。

そう考えると、エネルギー軸と、時間軸が平行であり、関係があるような気がするのですが、エネルギーと時間には何か関係があるのでしょうか？

教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

ORUKA1951

螺旋になりますし、振動方向が一次元なら波になります。
常に時間軸は他の座標軸に直角です。
そうしないとイメージできないのでは？
エネルギーはスカラー量ですから座標はない。運動量とは違う

お礼

回答ありがとうございます。

確かにエネルギーはスカラー量ですね。。。

うーん、今ちょっと調べたら、

エネルギーと時間は「共役関係」にある
（参考：http://soudan1.biglobe.ne.jp/qa862065.html）
らしいです。

関係はあるみたいですね。

回答No.1

shintaro-2

>そう考えると、エネルギー軸と、時間軸が平行であり、関係があるような気がするのですが、エネルギーと時間には何か関係があるのでしょうか？

???

エネルギー自体は保存されているので、軸を取る必然性がありません。

位置エネルギーを考えればＸ依存なので、Ｘ軸と平行でも良いと思います。
運動エネルギーを考えればｐｖに比例なので、ｐ軸と平行でも良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
いくつか質問します。

＞エネルギー自体は保存されているので、軸を取る必然性がありません。

エネルギーが保存されているとなぜ軸を取る必然性がないのでしょうか？

(1/2) (p,x,0)×(p',x',0)=(0,0,E)

となっているとおり、(p,x)平面で考えているときに計算で、点(0,0,E)という(p,x)平面にない点がでてきたので、新たに(p,x)平面に垂直な軸を取ったのですが、これは必然的ではないのでしょうか？
確かに、エネルギーは保存されていて一定です。しかし、この軸がなければ、点(0,0,E)を記述することができません。私は新たに(p,x)平面に垂直な軸を取ることに必然性があると思います。

＞位置エネルギーを考えればＸ依存なので、Ｘ軸と平行でも良いと思います。
＞運動エネルギーを考えればｐｖに比例なので、ｐ軸と平行でも良いと思います。

これは確かにその通りだと思います。しかし、位置エネルギーと運動エネルギーをまとめて考えることはできないのでしょうか？今書いたように、新たな軸を取る必然性があれば、位置エネルギーと運動エネルギーをまとめたエネルギーがその軸に平行だと言えると思います。

ぜひまたお答えください。