エネルギー保存を使わないでこのばね問題を解く方法

質問

こんにちは、とてもシンプルな問題かも知れませんが、一日中悩んでおり、どうかお教え頂きたく投稿しました。

バネでつながれた二つの物体（質量mの物体をA、質量Mの物体をBとします。）が摩擦のないテーブルの上にあります。最初、ばねは自然長からDだけ縮んでいる状態で二つの物体を固定しているとします。この固定を外した後、ばねが自然長になる時のそれぞれの物体の速度Va, Vbを求める。

というものです。通常はエネルギー保存の法則で、始めのバネエネルギー = 二つの物体の運動エネルギーで式を一つ立て、一方で、運動量保存則でもう一つ式、m(-Va)+MVb = 0、が得られて、答えが出せます。

ここで、エネルギー保存則を使わないで、ニュートンの第二法則ma = Fを使ってとけないかどうかと思いました。たとえば物体Bについて、Ma = kX となり、加速度aはXの関数となります。なので、a dX = V dV より、VをXの関数にすることができます。しかしながら、Xにいったい何の値を入力すればよいのかわかりません。というのも、Bが動く間に同時にAも動いており、A、Bがそれぞれどれだけ動いたかの情報が得られずにおり、ずっと悩んでおります。

ご教示頂きたく、どうかよろしくお願いします。

回答No.3

hitokotonusi

＞しかしながら、Xにいったい何の値を入力すればよいのかわかりません。というのも、Bが動く間に同時にAも動いており、
＞A、Bがそれぞれどれだけ動いたかの情報が得られずにおり、ずっと悩んでおります。

バネの力は保存力です。
保存力は座標のみで決まる力ですから、力を考えるときに「動き」の情報は必要ありません。
ある時刻での座標だけがあれば力は求められます。

そして、バネの力はバネの伸びにバネ定数をかければよく、
バネの伸びは、バネの長さから自然長を引けばよいということを思い出せば、
ある時刻のバネの長さがわかればよい、ということがわかります。

添付された図では物体が大きさを持っていますが、これを質点として扱うことにしてそれぞれの位置をxA, xBとすればこの位置の差がそのままバネの長さになりますから、バネの自然長をLとすれば、

バネの伸び = X = xB - xA - L

次に考えなければいけないのは物体が二つあるという事で、
したがって運動方程式はそれぞれの物体について二つ必要であると言うことです。

＞Ma = kX となり、加速度aはXの関数となります。
＞なので、a dX = V dV より、VをXの関数にすることができます。

を見ると、一つの運動方程式で何とかしようとして悩んでいるように見受けられますが、物体が複数あれば、物体の数だけ運動方程式が立てられ、それを連立させて解くものだという事を押さえてください。

ここまでくればあとは問題ないと思いますが、バネが伸びているとすると、バネは物体Aを右向き(x軸正方向)に引き、物体Bを左向き(x軸の負方向)に引く事を考慮して符号を適切に決めれば

m d^2 xA/dt^2 = +k (xB-xA-L)
m d^2 xB/dt^2 = -k (xB-xA-L)

以下、具体的な解き方はANo.1さんのとおりです。

お礼

回答頂きお礼申し上げます。勉強になります。ふとすぐにエネルギー保存を使ってしまっていたのですが、こうして解法に縛りを付けるとわからないことが見えてきます（今までもかなり助けて頂いております）。ありがとう御座いました。

回答No.2

alchool

わかりやすい解き方としては
「重心は動かない」を利用することです。
そうすれば、個々の物体に関して「バネの一方は固定、もう一方は物体に繋がれている」
という条件が成り立つので簡単です。

この場合重心にてバネがL1,L2で分割されます。
各バネの伸びD1,D2はバネの長さL1,L2正比例しますし、
各バネのバネ定数k1,k2はL1,L2に対して反比例します（*）
それぞれを用いて普通に単振動の式を導けば答えが出ます。

別の解法としては
「2体問題」の「換算質量」という概念を使う方法もあります。
検索すれば出てくるものなので、特に説明はしません。

自分で計算したいでしょうから、あえて計算は載せません。
両方試してみてください。

(*)
つまりバネを半分に切れば、バネ定数は2倍になります。

(example)
D1=D*(L1)/(L1+L2)
D2=D*(L1)/(L1+L2)

k1=k*(L2)/(L1+L2)
k2=k*(L1)/(L1+L2)

お礼

回答下さいましてありがとう御座います。またお礼が遅れまして失礼いたしました。
重心は移動しない、ということがどうして起こるのか理解できずにおりまして、勉強しておりますが、もしさらに助言頂けますようでしたらとても幸いです。

回答No.1

heboiboro

物体Aの位置をx_a, 物体Bの位置をx_b、また物体Aの加速度をa_a, 物体Bの加速度をa_bなどと書くことにすると、
運動方程式は、
ma_a = k(x_b-x_a-L)　　　(1)
Ma_b = -k(x_b-x_a-L)　　　(2)

まず、(1)+(2)を計算すると、
ma_a + Ma_b = 0
これは、重心が等速度運動をすることを示しています。
初期条件も考慮して、
mv_a + Mv_b = 0　　　(3)

また、(2)/M - (1)/m を計算すると、
a_b-a_a = -(1/m + 1/M)k(x_b-x_a-L)

ここで、μ ≡ 1/(1/m + 1/M) と定義すると、
μ(a_b-a_a) = -k(x_b-x_a-L)
この式から、座標 x_b-x_a-L （つまりばねの伸び）が、質量μ、ばね定数kの単振動をすることが分かります。
（ちなみに、このμを換算質量と呼びます）

よって、初期条件も考慮すれば、
x_b-x_a = L - Dcos(√(k/μ)t)　　　(4)
v_b-v_a = D√(k/μ)sin(√(k/μ)t)　　　(5)

はじめてばねが自然長になるとき、 (4)より cos(√(k/μ)t) = 0 だから、 √(k/μ)t = π/2
これを(5)に入れて、v_b-v_a = D√(k/μ)
(3)と合わせて、
v_a = -MD√(k/μ)/(m+M) = -D√(kM/m(m+M))
v_b = md√(k/μ)(m+M) = D√(km/M(m+M))

お礼

回答下さりありがとう御座います。とても勉強になります。