微分方程式
cosh(x) の定義は(e^x+e^{-x})/2
sinh(x) の定義は(e^x-e^{-x})/2です。
なので、A_1, A_2 を任意定数として
A_1 e^x + A_2 e^-x とあらわせる式は、
A'_1, A'_2 を適当に置きなおすと、A'_1 cosh(x) + A'_2 sinh(x)
と置きなおすことができるのですが、次の問題が分かりません。
{(d/dx)^4}u=Pu, (0<x<1), u(0)=u'(0)=0, u(1)=u'(1)=0
の問題についてですが
D=d/dxとして特性方程式を作って
{D+i[4]√(P)}{D-i[4]√(P)}{D+[4]√(P)}{D-[4]√(P)}=0
(ここで 累乗根 : x[n]√(a+b) = (x)(a+b)^(1/n) とする)
とすると根がx = ±[4]√(P),±i[4]√(P)となり、一般解は公式より
u=c1e^(-ix[4]√(P)) + c2e^(ix[4]√(P)) + c3e^(-x[4]√(P)) + c4e^(x[4]√(P)) (c1,c2,c3,c4は任意定数)
となる。ココから次の式に導くのですがそれが分かりません。
u=c'1cosh(x[4]√(P)) + c'2sinh(x[4]√(P)) + c'3cos(x[4]√(P)) + c'4sin(x[4]√(P))
(c'1,c'2,c'3,c'4は任意定数)
いろいろ試してみたのですが、出来ませんでした。
分かる方教えてください。お願いします。
お礼
問題を解くのに教科書とか調べても載ってなかったので、早い回答で、とても助かりました。ほんとうに、ありがとうございました。