双曲線関数の問題です。

質問

次の式を簡単にせよ。
(1)arccosh(coshx)
(2)sinh(arccoshx)

という問題なのですが、(1)の答えはどうして|x|となるのでしょうか？
また、(2)はどうして)±√(x^2-1)ではなくて√(x^2-1)となるのでしょうか？
教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

BOMBARDMENT · ベストアンサー

簡単に説明しますと、(1)coshxは偶関数であり、(2)sinhxは奇関数であるから、(1)は絶対値を取り、(2)は複号にならない、となります。

(1)偶関数の場合、一般に、その逆関数を作用させても元には返りません。これは、y=x^2とその逆関数y=±√xで考えると明らかなように、逆関数の値域が０以上でなければならないので、負数は考えられないのと同様と見ることができます。coshθは１以上がその値域であり、その逆関数arccosθにおけるθの値が、１未満であることはそもそもありえないことです。従いまして、(1)のxに負数を代入しても、その解は必ず正の値をとります。

(2)arccosθは、確かに正負両方の値を取ります。しかし、sinhθは単調増加の奇関数であり、θに正の値を代入すればその値は必ず正であり、負を代入しても必ず負の値をとります。この理由から、複号はつけてはならないのです。

写像・逆写像的に換言すれば、(1)と(2)はともに一対一対応です。

お礼

大変詳しい回答、ありがとうございました。
おかげでよく理解することができました＾＾

回答No.3

noname#133363

答えはその問題においてarc coshがどう定義されてるか次第でしょうね。
（coshの定義域は実数として考えてるんだろうと予想するけど。）
おそらく、その問題の前提としてarc coshは非負の実数を値域とするように（一価関数として）定められてるのではないですか。
その場合、(1)(2)の解答は正しいということには、異論ないだろうと思います。
arc coshを多価関数として認識してる場合、あなたの疑問はもっともだと思います。
どの枝を考えるかで、(1)も(2)も値が変わってきますからね。

お礼

明示されていないので、一価関数として考えるものなのだと思います…。
疑問がスッキリしました。
回答どうもありがとうございました！

回答No.1

R_Earl

> (1)の答えはどうして|x|となるのでしょうか？

arccoshが正の値しかとらないからです。

> また、(2)はどうして)±√(x^2-1)ではなくて√(x^2-1)となるのでしょうか？

多価関数というものをご存知ですか？
プラスマイナスの2つの値を取れるとすると、それは多価関数ですよね。
(2)の答えが±√(x^2-1)だとすると、sinhは多価関数という事になってしまいます。
sinhは多価関数でしょうか？

多価関数を知らないのであれば、
「sinhが2種類の値を取るのは変」と考えて下さい。
例えばsinh(1)の値を考えてみてください。
sinh(1)は2種類の値を取るでしょうか？
取りませんよね。sinh(1)の値は(1/2){e - (1/e)}だけです。
sinh(arccoshx) = ±√(x^2-1)としてしまうと、
sinh(arccoshx)は√(x^2-1)と-√(x^2-1)の2種類の値を取る事になってしまいます。
これは変ですよね。
なのでsinh(arccosx)の値は√(x^2-1)か-√(x^2-1)の
どちらか一種類という事になります。

お礼

多価関数という言葉は初めて聞きました。
もっと詳しく学んでみようと思います。
回答どうもありがとうございました！