こんにちは、非整数微分について教えてください。

質問

ｘ＾２を、ｘで微分すると、２ｘになります。
では、ｘ＾２を、0.5ｘで微分するとどうなるのでしょうか？
また、その値を、更に0.5ｘで微分すると２ｘになりますが、その辺りを
計算して教えてください。

更にｘをｘで微分すると、１なります。
では、ｘを、0.5ｘで微分するとどうなるのでしょうか？
また、その値を、更に0.5ｘで微分すると１なりますが、その辺りを
計算して教えてください。

回答No.8

noname#101087 · ベストアンサー

>k×(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1])*x^(n - k)
>＝k×(Gamma[n + 1]/Gamma[n – 0.5 + 1])*x^(n –0 .5)　になるのでしょうか？

あ、ミスってましたね。

　一階微分演算子を D として、
　　D(x^n) = n*x^(n-1) = {n!/(n-1)!}*x^(n-1) = {Γ(n+1)/Γ(n)}*x^(n-1)
　これを分数(1/2)階に拡張して、
　　δ^1(x^n) = Γ[n+1]/Γ[n+(1/2)]*x^[n-(1/2)]

お礼

了解しました。EXCELでの計算有難うございました。

回答No.7

noname#101087

>x^2
>1.5045055561273502*x^1.5
>2.*x^1.
>2.256758334191025*x^0.5
>2

EXCEL で蒙御免。

(1/2)! = Γ(3/2) = (1/2)*Γ(1/2) = = SQRT(pi)/2 = 0.886227
(1+1/2)! = (3/2)*(1/2)! = 1.329340

　δ^1[x^2] = {2!/(1+1/2)!}*x^(1+1/2) = 1.504506x^(1+1/2)
　δ^2[x^2] = {2!/(1+1/2)!}*δ^1[x^(n+1/2)] = 2x
　δ^3[x^2] = δ^1[x^(n+1/2)] = {2/(1/2)!}*x^(1/2) = 2.256758x^(1/2)
　δ^4[x^2] = {2/(1/2)!}*δ^1[x^(1/2)] = {2/(1/2)!}*{(1/2)!/0!}*x^(0)] = 2
// OK !

回答No.6

noname#101087

どんぶり勘定だと、
　一階微分演算子を D として、
　　D(x^n) = n*x^(n-1) = {n!/(n-1)!}*x^(n-1) = {Γ(n)/Γ(n-1)}*x^(n-1)
　これを分数(1/2)階に拡張して、
　　δ^1(x^n) = Γ[n]/Γ[n-(1/2)]*x^[n-(1/2)]
…とやるみたいですね。

補足

お返事ありがとうございます。
Mathematicaで計算してみました。

ｘ＾２　を、０．５　ずつ微分計算した結果
x^2
1.5045055561273502*x^1.5
2.*x^1.
2.256758334191025*x^0.5
2.
が得られました。（下記プログラム参照）

結論として、k×x^nの場合
０．５　ｘで微分すると
k×(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1])*x^(n - k)
＝k×(Gamma[n + 1]/Gamma[n – 0.5 + 1])*x^(n –0 .5)
になるのでしょうか？確認頂きましたら幸いです。

プログラム
n = 2;
k = 0.5;
Print[x^n];
p = Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1];
y1 = (Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1])*x^(n - k);
Print[y1];
n = n - k;
r = p*(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1]);
y2 = p*(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1])*x^(n - k);
Print[y2];
n = n - k;
s = r*(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1]);
y3 = r*(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1])*x^(n - k);
Print[y3];
n = n - k;
y4 = s*(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1])*x^(n - k);
Print[y4];

回答No.5

noname#101087

一部削除。

そのような線形演算子をδで表すと、
　δ^0(x^n) = x^n
　δ^1(x^n) = An*x^p
　δ^2(x^2) = n*x^(n-1) = An*δ^1(x^p)　// このあとの末尾の等式はミス。削除。

回答No.4

noname#101087

>ｘ＾２を、0.5ｘで微分するとどうなるのでしょうか？
>その値を更に0.5ｘで微分すると２ｘになります ........

そのような線形演算子をδで表すと、
　δ^0(x^n) = x^n
　δ^1(x^n) = An*x^p
　δ^2(x^2) = n*x^(n-1) = An*δ^1(x^p) = An*Ap*x^2p

強引にδひとつで n-p=d (定値)とでもすれば、
　δ^1(x^n) = An*x^(n-d)
　δ^2(x^2) = n*x^(n-1) = An*δ^1(x^(n-d)) = An*A(n-d)*x^(n-2d)
なので、
　An*A(n-d) = n
　d = 1/2
として辻褄だけは合います…。

An*A(n-d) = n あたりが、ガンマの出番なのかも。

回答No.3

siegmund

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=204022
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa838209.html
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=607228
http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivative.html​
http://mathworld.wolfram.com/FractionalIntegral.html​
などが参考になるかと思います．

補足

お返事ありがとうございます。
Mathematicaで計算してみました。

ｘ＾２　を、０．５　ずつ微分計算した結果
x^2
1.5045055561273502*x^1.5
2.*x^1.
2.256758334191025*x^0.5
2.
が得られました。（下記プログラム参照）

結論として、k×x^nの場合
０．５　ｘで微分すると
k×(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1])*x^(n - k)
＝k×(Gamma[n + 1]/Gamma[n – 0.5 + 1])*x^(n –0 .5)
になるのでしょうか？確認頂きましたら幸いです。

プログラム
n = 2;
k = 0.5;
Print[x^n];
p = Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1];
y1 = (Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1])*x^(n - k);
Print[y1];
n = n - k;
r = p*(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1]);
y2 = p*(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1])*x^(n - k);
Print[y2];
n = n - k;
s = r*(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1]);
y3 = r*(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1])*x^(n - k);
Print[y3];
n = n - k;
y4 = s*(Gamma[n + 1]/Gamma[n - k + 1])*x^(n - k);
Print[y4];

回答No.2

Tacosan

コーシーの積分公式から
f^(n)(z) = (n!/(2πi)) ∫ f(ζ)/(ζ-z)^(n+1) dζ
(積分は z をかこむ閉曲線で行う)
となって, 右辺の n! を Γ(n+1) で置き換えれば (理論上は) 三角関数を使わずに非整数階微分が定義できます.

補足

お返事有難うございます。
ガンマ関数を使うことは知っていますが、質問のように具体的に計算結果をご教示頂きましたら幸いです。

回答No.1

proto

「0.5xで微分する」という表現は不自然でしょう。
あなたの書き方でいうと、2階微分は「2xで微分する」ということになってしまいますが、正しくは「xで2回微分する」ということですよね。
というわけで「xで0.5回微分する」という方がまだ自然だと思います。

とは言ったものの、0.5回というように回数を整数以外で考えるなんて事は普通は出来ませんから、このように言い換えたところで意味はありません。
問題は非整数階微分をどのように定義するかということです。

結論から言うと、三角関数の微分を用います。
y=sin(x)をxで何度も微分してみます。
　　y = sin(x)
　　dy/dx = cos(x) = sin(x+π/2)
　　d^2y/dx^2 = -sin(x) = sin(x+π)
　　d^3y/dx^3 = -cos(x) = sin(x+3π/2)
　　……
　　d^ny/dx^n = sin(x+n*π/2)
となります。
n階微分の式に注目してください。右辺はnが整数でなくても普通に計算できますね。
同様にy=cos(x)のn階微分も、
　　d^ny/dx^n = cos(x+n*π/2)
と表され、右辺はnが整数のときに限らず計算できます。

このことを使って非整数階微分を定義することが出来そうです。
例えばsin(x)をxで0.5回微分すると、
　　sin(x+0.5*π/2) = sin(x+π/4) = sin(x)*cos(π/4)+cos(x)*sin(π/4)
　　　　　　　　　　= (sin(x)+cos(x))*(√2)/2
となります。

一般のf(x)をr回微分するときも同じです。
f(x)をフーリエ級数展開によってsinとcosの和で表してから、先ほどの例のように項別に微分してやれば良いのです。

このように非整数階微分を定義することで、「0.5xで微分」や「0.5回微分」などという無茶な概念を持ち出さずとも非整数階微分が達成されます。

補足

何のことかはわかりませんが、ガンマ関数を用いて計算する必要があります。三角関数のレベルでは出来ません。