微分の難問

質問

y=(a*b*tanh(b*x))^(1/2)
（a,b:定数）
この方程式のxについての微分に苦しんでいます。
この場合、tanhをどのように微分したらよいのでしょうか？
この三角関数はどのようになるのでしょうか？
どなたか、分かる方は教えてください。
お願いします。

回答No.4

0lmn0lmn0

(tanhx)'=(sechx)^2 です。

双曲線関数

sinhx=(e^x-e^-x)/2, 　cosechx=1/sinhx
coshx=(e^x+e^-x)/2, 　sechx=1/coshx=2/(e^x+e^-x)
tanhx=sinhx/coshx, 　　coth=1/tanhx

(tanhx)'
=(sinhx/coshx)'
=((e^x-e^-x)/(e^x+e^-x))'
=4/(e^x+e^-x)^2
=(sechx)^2

y=(ab*tanh(bx))^(1/2)
y'=ab*b*(sech(bx))^2*(1/2)*(1/√(ab*tanh(bx)))
=ab*b*(sech(bx))^2*(1/2)*√(ab*tanh(bx))*(1/(ab*tanh(bx))
=b*(sech(bx))^2*(1/2)*√(ab*tanh(bx))*(1/(tanh(bx))
=b*(1/2sinh(bx)cosh(bx))*√(ab*tanh(bx))
=b*(1/sinh(2bx)*√(ab*tanh(bx))
=b*cosech(2bx)*√(ab*tanh(bx))

お礼

回答有り難うございました。
双曲線関数ですね。
助かりました。

回答No.3

info22

tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)={e^x -e^(-x)}/{e^x +e^(-x)}
={e^(2x) -1}/{e^(2x) +1}
が定義です。
三角関数ではありません。
e^xのタイプの微分なら簡単に出来ますね。

回答No.2

kabaokaba

>この場合、tanhをどのように微分したらよいのでしょうか？

tanh(x)の定義にしたがって「商の微分」で計算すればいいだけ．
公式集の類にも大抵のってるし，ぐぐっても見つかるでしょう．
あとは単なる合成関数の微分．
自分で計算しましょう．

>この三角関数はどのようになるのでしょうか？
三角関数ではありません．
双曲線関数といいます．

回答No.1

Tacosan

「三角関数」じゃなくて「双曲線関数」なんだけど, tanh x = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x) で, 右辺は微分できるよね?