大学数学の「任意」の概念がわからず困っています。

質問

以前、

Ａをn次正方行列としたとき、Ｃ^nに属する任意のベクトルx,y（x＝(x1,x2,・・,,xn)の転置行列）について、内積(Ａx,y)=0ならＡ＝０であることの証明を投稿しました。

解答としては、
x,yは任意なのでx=ei,y=ejとしてみると(eiは第i成分が1の標準基底です。)

(Ａx,y)=(Aei,ej)=・・・・=a_ji=0

a_jiつまりＡの（j,i）成分が０なのでＡ＝０です。

しかしここで本題なのですが、任意のうちの「一つ（e_iとe_j場合）」が成り立ったことを言っただけで、他の場合、これが成り立たないかもしれません。そこの証明はどうするのでしょうか。または私の考え方が間違っているんでしょうか。

お願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>しかしここで本題なのですが、任意のうちの「一つ（e_iとe_j場合）」が成り立ったことを言っただけで、

違います．
「成り立ったことを言った」のではなく
「成り立っている」のは仮定です．

任意のx,yについて成り立つという仮定なので，
特別なx,yについても成り立っているのです．
「何でもOK」といってるので
「好きなものを使った」だけなんです．

「何でもOK」という強いものから
特定のものだけを採用したので，
でてくる結論が本当にあっているかどうかは
一般には確認する必要があります．

問題を簡単にしてみましょう．

実数aを考える．
任意の実数xに対して a x = 0 ならば a = 0 であることを
証明せよ．

任意の実数xで成り立つので，x=1でも成り立つ．
したがって，a=ax=0

このようなaが存在してa=0が該当するのは自明なので
正確には「a=0のみであることを証明する」という
ようなニュアンスなのです．したがって吟味が実際には不要です
＃複数の結論があって
＃それらが全部OKとは限らない場合などは
＃吟味の必要性はあります．

回答No.5

koko_u

>∀x∀y((x∈E ∧ y∈E) → (x∈Ｃ^n ∧ y∈Ｃ^n)）　　…(2)
>である。だから
>(∀x∀y((x∈Ｃ^n ∧ y∈Ｃ^n) → (Ax,y) = 0 ))→(∀x∀y(x∈E ∧ y∈E → (Ax,y) = 0 ))　　…(3)
>が言えます。
これがすんなり飲み込めるなら、最初から質問しないでしょ。
述語論理式になって余計わかりにくい。

お礼

みなさんありがとうございました。じっくり考えて見ます。

回答No.4

stomachman

ちょっと混乱してるだけだと思います。
　 n次元の標準基底の集合をEと書く事にしましょう。

　ご質問の証明は、
> 任意のうちの「一つ（e_iとe_j場合）」が成り立ったことを言っただけ
なんかじゃありません。これが問題の定理の証明になっているのは、質問者さんが証明なさったのが
(∀x∀y(x∈E ∧ y∈E → (Ax,y) = 0 )) → A=O　　…(1)
すなわち、「（Eに属する任意のベクトルx,yについて、内積(Ａx,y)=0）ならばＡ＝０である」だからです。（「Eに属する任意のベクトルx,yについて、（内積(Ａx,y)=0）ならばＡ＝０である)」ではない。）

　さて、(1)だけでは、「分かり切ってる」ところが省略されている。その「分かり切ってる」話とは、以下のようなものです：
E⊂Ｃ^n
である。つまり、
∀x∀y((x∈E ∧ y∈E) → (x∈Ｃ^n ∧ y∈Ｃ^n)）　　…(2)
である。だから
(∀x∀y((x∈Ｃ^n ∧ y∈Ｃ^n) → (Ax,y) = 0 ))→(∀x∀y(x∈E ∧ y∈E → (Ax,y) = 0 ))　　…(3)
が言えます。(1)と(3)から
(∀x∀y((x∈Ｃ^n ∧ y∈Ｃ^n) → (Ax,y) = 0 )) → A=O

回答No.2

koko_u

>他の場合、これが成り立たないかもしれません。
その通りです。その場合前提 ∀x,∀y (Ax, y) = 0 が偽となり依然として命題「∀x,∀y(Ax, y) = 0 ⇒ A = 0」自体は証明されています。

しかし、前提が偽では気持ち悪いので、逆に A = 0 であれば (Ax, y) = (0, y) = 0 となることを確認するのが精神衛生上は良いでしょう。

回答No.1

miniture_min

任意とは、自分で選ぶ適当な値で取れる値ならなんでも良い。
だから、任意の値での証明を行えば、自分で選べる値全てについて証明できた事になる。