範囲

質問

0°＜θ≦180°の範囲で、sinθ＋cosθ＝√２/３のとき、
sinθ－cosθの値を求めよ。
という問題なのですが、一応自分なりに解答を作ることはできるのですが、この問題の解答に
　　　・
　　　・
　　　・
　　　sinθ－cosθ＝±4/3
　ここで，0°＜θ≦180°なので，
　0≦sinθ≦1，－1≦cosθ＜1であるから
　sinθ－cosθ≧－1
　∴sinθ－cosθ＝4/3

とあり、なぜ0≦sinθ≦1，－1≦cosθ＜1　から　sinθ－cosθ≧－1
となるのかが分かりません。どなたか丁寧に教えてください。

回答No.9

take_5

思いついただけで、3つほど別解があるが、場合わけしなくても良い解法を。。。。。笑

sinθ＋cosθ＝√2/3　‥‥(1)

θ＝180°の時、sinθ＝0、cosθ＝-1より(1)に反する。
よつて、0°＜θ＜180°であるから、0°＜θ/2＜90°である。
そこで、tan(θ/2)＝t (t＞0)と置くと、sinθ＝(2t)/(t＾2+1)、cosθ＝(1-t＾2)/(t＾2+1)であるから、
それらを(1)に代入して解くと、t＞0よりt＝3-√2.
√2＝3-tを2乗するとt＾2＝6t-7.
Ｐ＝sinθ－cosθ＝(2t-1+t＾2)/(t＾2+1)＝‥‥‥＝8(t-1)/6(t-1)＝4/3.　(t＾2＝6t-7　を使って次数を下げる)

こうすれば、簡単。

回答No.8

kumipapa

#3 です。
１対１対応って家にあったので確認しました。
質問されたことは、その解説の別解として示されているものだったんですね。(sinθ + cosθ)^2 = 2/9 から、(sinθ - cosθ)^2 = 16/9 を導いた。
このとき、本当は -1 ＜ sinθ - cosθ ≦ √2 なんだということを理解するには #7 さんが言われるように図形的に理解するか、または、sinθ - cosθ = √2 sin(θ - π/4) であることから理解する必要があるでしょう。ならば、問題を解く方針も、図形的に解くか、または合成して解くのが分かり易いような気もする。これはただの私の好みなので、参考程度に聞いておいてくれればよいです。聞く価値も無いかもしれないが。
ただ、１対１対応でも、メインの解説は図形的な解き方をしてますね。実際には単位円と直線の交点の座標を求めている。#7さんの話と基本は同じ。やはり、そういうアプローチが大切なんでしょう、とも思う次第。
勿論、別解を追求することはすごく勉強になると思うから、それもお勧め。できれば、別解は自分で追求したいところであって、また、それでこそ面白いものなのだと思うが。
以上、質問者さんの質問とは全く無関係になっちゃったし、全くまとまりがないけど、雑感。

お礼

御回答ありがとうございます。そうですね。いろいろ自分で別解などを考えるのも数学の醍醐味でもありますよね。

回答No.7

take_5

＞ということはイコールなしの不等号の方が強いということですね。

そんなことは、自分で確かめれば良いだろう。

視点を変えよう。
cosθ＝x、sinθ＝yとすると、x＾2＋y＾2＝1、-1≦x＜1、0≦y≦1の条件の下で、y-x＝kの値の範囲を求める問題になる。
これは、円：x＾2＋y＾2＝1の、-1≦x＜1、0≦y≦1の部分であるから、初めから点（1、0）が除外されている。この時、k＝-1。
従って、kの下の限界はk＞-1である事はすぐ理解できるだろう。

お礼

分かりやすいアドバイス有難うございます。おかげで理解することができました。

回答No.6

take_5

質問への解答は終わっているが、＃3さんが言われている疑問に同意する。
逆に＃5さんが言われていることには疑問がある。
問題集の作成過程は知らないが、問題集の解答としては、使う人が理解できるように作るべき。
問題集の回答者にとって当然なことでも、それを使う高校生は当然なこととは思わない。
使う高校生が、理解しやすいように作るのが親切であり、望ましい態度と思う。
こんな解説では、悪く取ると、高校生を馬鹿にしているとも誤解されかねない。
従って、この問題としては上限も下限も提示すべきと思う。

＞これは一対一対応数Iです。

大数の回答者は、私が高校生の頃から、悪く言うと横柄なところがあった。
学コンなんかでも、何時間も掛けてやっと解いた解答に対する添削も極めて荒く、本誌の内容に質問の手紙を出しても横柄な返事が返ってきたこともある。
これは個人的感想です。。。。。。笑

お礼

お返事ありがとうございます。そうですよね。私も大数の解答は少し丁寧さに欠けたり曖昧なときがあると思っていました。

回答No.5

kabaokaba

A+BとAB（今回はABの変わりにA^2+B^2）が分かってるときに，
A-Bを求める際の常套手段として，
(A-B)^2を計算するのも受験の常套手段です．
A-Bから何とかして対称式に持っていくなら
二乗するのが一番簡単．
＃二次方程式の解と係数の関係の問題で
＃この手のものはでてきてるはず

この問題では，解の候補を絞る手として，
下限のみ注目するのは自然でしょう
条件からそのまま判明する上限は2であり，
(ルート2)を超えてるので
sinθ－cosθの上からの評価としては無意味ですから．
数Ｉだと合成公式はでてこないですけども，
実は，
sinθ＋cosθ=（ルート2）sin(θ+45°)
sinθ－cosθ=（ルート2）sin(θ-45°)
って式が成り立つので，上限の2というのは
何も情報をくれないのです．

少し裏から見てみると，数Ｉの範囲は超えますが，
sinθ＋cosθ=（ルート2）sin(θ+45°)
なんだから
sin(θ+45°)=1/3を満たすθは存在する．
そして，45°＜θ+45°≦225°の範囲で
sin(θ+45°)=1/3を満たすθは一個しかない
（円を書けば分かる．
1/3=0.333... 1/(ルート2)=0.7くらいなのに注意）
しかも，sinθ>0>cosθなのもわかる．
だからsinθ－cosθ>0なんだ．
というような「解答前の思考」が
解答作成時にあってもおかしくはないです．
＃まあ実際は一気に二乗して求めちゃいますけどね．

今回の場合，sinθcosθ=-7/18だから計算しようと思えば
sinθ= ((√２)+4)/6
cosθ= ((√２)-4)/6
だってことはsinθ>=0からわかるから
sinθ－cosθ = 4/3
です．
けど，こういう具体的な値でごにょごにょやるのは
お勧めできません．
解と係数の関係で進めようと思うと
一対一のような二乗する形になります．

なお，
＞sinθ＞０，cosθ＜０であることが分かりますからsinθ - cosθ＜０
こんなんは駄目なのはお分かりでしょう？

========
何社かに関わってる（た）ので書きますが
いわゆる「有名な会社の有名な問題集」ってのは
ものすごい回数の校正・検算・誤植チェックが入ります．
数学的内容についてはかなりシビアです．
だから，解答の筋道というか論理展開が壊れてることは
まずありません．
単純な誤植もそれほどは多くはないです．
ただまれに，やたら厄介な問題で
解答作成者（一問に複数いるのが普通）・編集者が
みんな惑わされるのはありますが，そういう問題は
そもそも難問ですので，逆に読者突っ込みで直ったりします(^^;;;

ですので，一般論ですが，
長く生き残ってる「署名つき解答」のある参考書・問題集は
それなりに信用して大丈夫です．

お礼

御回答ありがとうございます。sinθ＞０，cosθ＜０であることからsinθ - cosθ＞０の間違えでした。すみません。

回答No.4

take_5

＞なぜ0≦sinθ≦1，－1≦cosθ＜1　から　sinθ－cosθ≧－1となるのかが分かりません。

0°＜θ≦180°より、　0≦sinθ≦1、－1≦cosθ＜1。
従って、－1＜-cosθ≦1であるから、これと0≦sinθ≦1を加えると、-1＜sinθ－cosθ≦2となる。

三角関数の求値問題は、1つの問題でもいろんな変形が楽しめる。
この問題でもいくつか考えられるし、そこが三角関数の楽しいところ。
そして、それも2乗すると上手くいく場合が多い。
しかし、2乗すると同値性が崩れる場合があるから、それを検証する必要が生じる。
θの取り得る範囲により、sinθやcosθの値の範囲も限定される。
この場合は、sinθ－cosθの範囲自体が限定されるが、それもsinθやcosθの値の範囲から求めることになる。
sinθやcosθの値の範囲から、sinθ－cosθの値の範囲を求めるという手法は、これから先、嫌というほど出てくる。
従って、その方法になれる事とその必要性は常に意識していなければならない。

お礼

ありがとうございます。
＞－1＜-cosθ≦1であるから、これと0≦sinθ≦1を加えると、-1＜sin　θ－cosθ≦2となる
ということはイコールなしの不等号の方が強いということですね。

回答No.3

kumipapa

＞　0≦sinθ≦1，－1≦cosθ＜1　から　sinθ－cosθ≧－1 となるのか分かりません。

sinθ - cosθ ≧ -1 であるというのは皆さんがおっしゃるとおりなんだけど、その式そのものではなくて、話の流れがちょっと乱暴な感じもする。
上限側には見向きもせずに、あからさまに下限側だけチェックしてみせるのは、答えに合わせて適当に解説しているような感じを受けてしまう。解説って、そんなんでいいのかなあ・・・。これは質問者さんの質問とは別の話になっちゃいますけど。
推測するに、sinθ - cosθ = ±4/3 が出てきたって事は、(sinθ + cosθ)^2 = 2/9 から sinθ cosθ を求めて、それを利用すると (sinθ - cosθ)^2 = 16/9　と求めることができて、ということですよね、多分。間違っちゃいないけど、方針も変な感じがする。
もろに私の好みに基づく感想ですけど。

なんていう問題集ですか？って聞いちゃいけないか。

お礼

お返事ありがとうございます。私もsinθ cosθの値からからsinθ＞０，cosθ＜０であることが分かりますからsinθ - cosθ＜０　というながれでいいと思ったんですが・・・・・・。　
これは一対一対応数Iです。

回答No.2

arrysthmia

単純に、((sinθ≧0 かつ cosθ＜1) ならば sinθ－cosθ≧－1) が成立する
と言っているだけです。((s≧0 かつ c＜1) ならば s－c≧－1) でも同じこと。
(sinθ≧0 かつ cosθ＜1) と (sinθ－cosθ≧－1) が同値だと言っている
訳ではありませんから、(sinθ－cosθ＝－1) となるθが在るとか無いとかは
考えなくてかまいません。
その解答では、(sinθ－cosθ≧－1) が成立しなくてはならないから
sinθ－cosθ＝－4/3 はアリエナイ…ということがわかれば十分なのです。

お礼

御回答ありがとうございます。　分かったのですが、＜（イコールなし）より≦（イコール付き）のほうが強いのですか？？

回答No.1

kabaokaba

三角関数以前の問題ですな

a<x<b
c<y<d
だったら
-d<-y<-c
だから
a-d<x-y<b-c

というお話．

お礼

御回答ありがとうございます。　＜（イコールなし）より≦（イコール付き）のほうが強いのですか？