教えてください(三角関数 θの範囲)

質問

0≦θ＜πとする。このとき、不等式
　　　cos4θ＜-4sin^2θ-cos2θ+1
　をみたすθの値の範囲を求めよ。

という問題です。
マーク式の問題なので、誘導されて

t=cos2θとおき、あたえられた不等式を
　　　2t^2-t＜0
これより
　　　0＜ｔ＜1/2

と表すことができました。
ここからどのようにθの値の範囲を
求めればよいかわかりません。

教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

0<cos2θ<1/2(0≦2θ<2π)

です．これは原点中心の単位円上の点Pを使って

∠AOP=2θ(A(1,0))

とするとき，Pのx座標x=cos2θについて

0<x<1/2

であることを意味します．単位円のこの部分（扇形）に対応する角度2θは，

π/3<2θ<π/2,3π/2<2θ<5π/3

2で割って

π/6<θ<π/4,3π/4<θ<5π/6（答）

お礼

ありがとうございました！

回答No.4

info22_

>ここからどのようにθの値の範囲を求めればよいかわかりません。

>0<t<1/2

t=cos(2θ)(0≦θ＜π)を代入

0<cos(2θ)<1/2

単位円で0≦2θ＜2πより

π/3<2θ<π/2　または　3π/2<2θ<5π/3

　∴π/6<θ<π/4, 3π/4<θ<5π/6

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

fushigichan

＃１です。

t=cos2θとおいたので

2θの範囲が0から２πまでになるのでした！

なので、coe2θ＝1/2となる2θは

2θ＝(1/3)πと、もうひとつ、(5/3)πがありました。

なので

(1/3)π＜２θ＜(1/2)πより
(1/6)π＜θ＜(1/4)π

もうひとつ
(3/2)π＜２θ＜(5/3)πより
(3/4)π＜θ＜(5/6)π

も答えです。補足いたします。すみません！

お礼

わざわざ補足していただいて
お手数かけました;

ありがとうございました！

回答No.1

fushigichan

こんにちは。

誘導されて途中までの式はＯＫなんですね。

0＜ｔ＜1/2

というところまでは変形できているということなので
ここに、t=cos2θを入れてみます。

ここで、

cos2θ＝1/2
となる2θを求めてみましょう。

θの範囲は、０からπまでですから
cos2θ＝1/2

となる2θ＝（1/3）π
となります。

0<cos2θ<1/2

なので、
(1/3)π　＜θ＜(1/2)π

ゆえに
(1/6)π＜θ＜(1/4)π

となると思います＾＾

単位円で考えてみるとわかりやすいと思います。