三角関数の応用の問題なんですが

質問

θが－π/３≦θ≦２/３πの範囲で変化するとき３sinθ＋２cos2θの最大値と最小値を求めよ。(cos,sinの後の小さい数字は２乗の意味です。)

という問題なんですが、自分で一応解いてみたんですが、
わからないので教えて下さい。お願いします。一応自分で途中まで解いたやつも↓に書きました。

sinθ＝ｔとおく。
３sinθ＋２cos2θ＝３sinθ＋２(１－sin2θ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　 ＝－２sin2θ＋３sinθ＋２
ここまでしかわかりませんでした・・・。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。

> －π/３≦θ≦２/３π
ですから,t=sinθがとり得るsinθの範囲から
-√3/2≦sinθ≦1
> 最初の□は
> □≦t≦1…(C) ← □は分かりますね。
> 一応解いて、ひとつ目の□が－1で、二つ目も－1で
ひとつ目の□は「-1」となりえません。
ひとつ目の□も、二つ目の□も同じ「-√3/2」です。

「-1」となるのはθ＝－π/２の時ですが
> θが－π/３≦θ≦２/３πの範囲で変化するとき
の範囲外です。

f(t)の方は計算間違いです。訂正願います。
> ＝-2t^2 +3t +2＝-2(t-3/4)^2 +7/8
> f(t)=-2(t-3/4)^2 +7/8
正しくは
＝-2t^2 +3t +2＝-2(t-3/4)^2 +25/8
f(t)=-2(t-3/4)^2 +25/8

> t=3/4で最大値f(3/4)、t=□で最小値f(□)をとりますね。

t=3/4で最大値f(3/4)=25/8

t=(-√3)/2で最小値f((-√3)/2)＝(1－3√3)/2ですね。

> 最後の最小値が－３/４になったんですが、
> 問題集についてる答えは、最大値が２５/８で、
> 最小値が(１－３√３/２)になってるんですが
> 私の計算が間違ってますか？？
問題集の答の方があっていますね。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。
本当によくわかりました。

回答No.2

info22

> sinθ＝ｔ…(A)とおく。
>θが－π/３≦θ≦２/３π…(B)の範囲で変化するとき
の時tのとり得る範囲はどうなりますか？
□≦t≦1…(C) ← □は分かりますね。

> ３sinθ＋２cos2θ＝３sinθ＋２(１－sin2θ)
>　　　　　　　　 ＝－２sin2θ＋３sinθ＋２
＝-2t^2 +3t +2＝-2(t-3/4)^2 +7/8
f(t)=-2(t-3/4)^2 +7/8
において、(C)の範囲で最大値、最小値を求める問題になります。

t=3/4で最大値f(3/4)、t=□で最小値f(□)をとりますね。

やってみて下さい。
分からなければ、解答を補足に書いて質問して下さい。

補足

一応解いて、ひとつ目の□が－1で、二つ目も－1で
最後の最小値が－３/４になったんですが、

問題集についてる答えは、最大値が２５/８で、
最小値が１－３√３/２になってるんですが
私の計算が間違ってますか？？

回答No.1

koko_u_

えーと、t と置いたのではないのですか？？