グライナーの量子力学について

質問

しょっぱなからつまずいています、お願いします。

P15の空洞輻射についての問題で式（2）が良くわかりません。
θi＜θ＜θi＋dθiの満足する波数
ni/N=dΩ/Ω=1/2sinθidθi
等方性を用いてφについて積分したとありますが。

1）まず式にφが出てこないのにどうやって積分を実行したのか？
2）φがθの誤植だったとしたら1/2sinθidθiの1/2はどこから出てきたのか？
3）等方性についての積分とは？

回答No.1

boson

> 1）まず式にφが出てこないのにどうやって積分を実行したのか？

式にφが出てこないのは、φについて積分した後だからではないでしょうか？

> 2）φがθの誤植だったとしたら

誤植ではないと思います。

> 1/2sinθidθiの1/2はどこから出てきたのか？

立体角：dΩ＝sinθdθdφ（＝半径1の球殻の面積素片）
について、φに関する積分だけ先に実行すると

dΩ＝∫sinθdθdφ (積分範囲はφ＝0～2π)
　　＝2πsinθdθ

一方、
全立体角：Ω＝4π（＝半径1の球の面積）
であるので、

dΩ/Ω＝(1/2) sinθdθ

> 3）等方性についての積分とは？

「等方性を用いてφについて積分した」
とは
「角度φの値を変えても物理的な条件には変化は無いので
（つまり、φの関数ではないので）
φについては先に0から2πまで積分した」

という意味ではないでしょうか。
以下、ご参考まで。

立体角
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AB%8B%E4%BD%93%E8%A7%92

付録１＝球体の面積の求め方
A.　その（１）：多重積分を用いて求める
http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/faraday.htm