sin(nωt)、cos(nωt)の時間平均

質問

∫[0→T]sin(nωt)dt
∫[0→T]cos(nωt)dt
(nは正の整数、ωは正の実数、Tは正の実数)

これらの積分値が０になる条件は、T>>2π/ωであることを示せ、という問題の回答がどうしてもわからなくて困っています。
どなたか教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

これらの積分値が０になる条件は、T>>2π/ωであることを示せ。

>∫[0→T]sin(nωt)dt
>∫[0→T]cos(nωt)dt
これは時間平均の式ではありません。
なのでT=2πk/(nω)(kは任意の正整数)の時のみしかゼロになりません。

時間平均の定義式は
lim[T→∞](1/T)∫[0→T]sin(nωt)dt
lim[T→∞](1/T)∫[0→T]cos(nωt)dt
です。
以降この式で考えることにします。

セロになるのは　T=2πk/(nω)(kは任意の正整数)の時のみです。

ゼロに近づくのはT→∞（T>>2π/ω）の場合です。
この場合は、途中の　2π/(nω)の整数倍の周期部分の積分範囲は±打ち消してゼロになりますので、半端となった積分区間だけが積分値（有限値になる。これをIとおく）として残ります。その残った積分値Iを　「lim[T→∞](1/T)I」の平均化操作でTで割り、[T→∞]の操作で無限大で割りますので、平均値の極限値はゼロになります。

お礼

"補足"が不十分だったので、こちらで失礼します。

>> 時間平均の定義式は
>> lim[T→∞](1/T)∫[0→T]sin(nωt)dt
>> lim[T→∞](1/T)∫[0→T]cos(nωt)dt
>> です。
>問題もそうなっていました。
訂正です。

問題は、正確には、
(1/T)∫[0→T]sin(nωt)dt
(1/T)∫[0→T]cos(nωt)dt
の積分値がT>>2π/ωのときにゼロになることを示せ、というものです。
[T→∞]のときにこれらの時間平均がゼロになるのはわかりましたが、あえてT>>2π/ωと書いているので、2π/ωになんらかの意味があるのだと思います。T>>2π/ωという条件式はどうやって出てくるのでしょう。。

補足

> 時間平均の定義式は
> lim[T→∞](1/T)∫[0→T]sin(nωt)dt
> lim[T→∞](1/T)∫[0→T]cos(nωt)dt
> です。
問題もそうなっていました。
書き写す際に、(1/T)を書き忘れていました。すみません。。

[T→∞]のときにこれらの時間平均がゼロになるのはわかりました。

T>>2π/ωという条件はどこから出てくるのでしょうか？

回答No.4

info22

A#3の補足
> |1-cos(x)|/x < 1 (x>0) …(●)
1-cos(x)≧0なので絶対値は無くても同じです。

xをx=2の前後で、3つの場合に分けて考えれば
すぐ分かるでしょう。

■ 0<x<2の場合
(1-cos(x))/x=(x/2){sin(x/2)/(x/2)}^2
x>0で　|sin(x/2)/(x/2)|<1 なので
<x/2<1 (0<x<2)
■　x>2の場合
0≦1-cos(x)≦2なので
(1-cos(x))/x≦2/x<1
■ x=2の場合
1<1-cos(2)<2なので
(1-cos(x))/x=(1-cos(2))/x<2/2=1

以上から (●)が成立することは明らかです。

お礼

ありがとうございます。恐縮です。。

＞　xをx=2の前後で、3つの場合に分けて考えれば
＞　すぐ分かるでしょう。
よくわかりました。

回答No.3

info22

＞ =(tT1/T)|1-cos(tnωT1)|/(tnωT1)＜tT1/T
＞ 下から３つめの式の不等号はどうして成り立つのでしょうか？
かなり過大評価しています。
他力本願に頼らず、簡単に分かることは自力努力で確かめる様にして下さい。
x=tnωT1(0＜x≦nωT1)として
f(x)=|1-cos(x)|/x
の値域を考えてみて下さい。
y=f(x)のグラフを張っておきますので参考にして下さい。

補足

ありがとうございます。よくわかりました。

ただ、数値計算すれば明らかなのですが、「|1-cos(x)|/x < 1」というような定理があるのかと思い、それがどうしてもわからなかったので質問させていただきました。そのような定理があるわけではないのですね？ これも自力で考えればわかることかもしれないので、自力でもっと考えてみます。

回答No.2

info22

> [T→∞]のときにこれらの時間平均がゼロになるのはわかりました。
> T>>2π/ωという条件はどこから出てくるのでしょうか？
この2つは内容的に同じことです。
sin(nωt)、cos(nωt)の周期Tn=2π/nωですが、全ての自然数nについて示すにはTnの一番大きいn=1の場合のT1=2π/ωに対して考えればTn≦T1であるので
T>>T1=2π/ωにTを選べば、このT内に含まれる
周期T1のsin(ωt)、cos(ωt)の周期数n1より、
周期Tn=T1/nのsin(nωt)、cos(nωt)の周期数n2の方が多くなります。
平均値は、周期が多く含まれるほど近似平均値は真の平均値（つまりゼロ）に近づきます。

従って全ての自然数nについて適用するなら、T1=2π/ω…(●)に対してTを十分大きく選べば十分なのです。

T=mT1+t*T1 (0≦t＜1,m>>1)とおけば
T=mnTn+tnTnなので
(1/T)|∫[0→T]sin(nωt)dt|
=(1/T)|∫[0→nmTn]sin(nωt)dt+∫[mnTn→mnTn+tnTn]sin(nωt)dt|
=(1/T)|∫[mnTn→mnTn+tnTn]sin(nωt)dt|
=(1/T)|∫[0→tnTn]sin(nωt)dt|
=(1/T)|1-cos(tn^2ωTn)|/(nω)
=(tT1/T)|1-cos(tnωT1)|/(tnωT1)＜tT1/T
=tT1/(mT1+tT1)＜tT1/(mT1)=t/m＜1/m
m>>1なので　(1/T)|∫[0→T]sin(nωt)dt|＜＜1

同様にして
T=mT1+t*T1 (0≦t＜1,m>>1)とおけば
(1/T)∫[0→T]cos(nωt)dt＜＜1
が示せます。

以上から
T=mT1+t*T1≧mT1＞＞T1=2π/ωのとき

(1/T)|∫[0→T]sin(nωt)dt|＜＜1
(1/T)|∫[0→T]sin(nωt)dt|＜＜1
が示せたことになります。

補足

回答をありがとうございます。

＞ T=mT1+t*T1 (0≦t＜1,m>>1)とおけば
＞ T=mnTn+tnTnなので
＞ (1/T)|∫[0→T]sin(nωt)dt|
＞ =(1/T)|∫[0→nmTn]sin(nωt)dt+∫[mnTn→mnTn+tnTn]sin(nωt)dt|
＞ =(1/T)|∫[mnTn→mnTn+tnTn]sin(nωt)dt|
＞ =(1/T)|∫[0→tnTn]sin(nωt)dt|
＞ =(1/T)|1-cos(tn^2ωTn)|/(nω)
＞ =(tT1/T)|1-cos(tnωT1)|/(tnωT1)＜tT1/T
＞ =tT1/(mT1+tT1)＜tT1/(mT1)=t/m＜1/m
＞ m>>1なので　(1/T)|∫[0→T]sin(nωt)dt|＜＜1
この中の下から３つめの式の不等号はどうして成り立つのでしょうか？