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重積分は別々に計算してもいいのでしょうか?

以下のような三重積分について、 I=∫_(0,2π) dϕ∫_(0,π)sinθdθ∫_(0,R) 2ρr^2⋅r^2 dr 各積分を = 2π*2*2R^5*ρ/5 のように独立して計算してから、掛け合わせてもいいのでしょうか? 上記の式については成り立っているようですが、変数さえ分離していればいつでもこうやっていいものなのでしょうか?

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  • aliceaki
  • ベストアンサー率64% (34/53)
回答No.1

はい、重積分は別々に計算しても構いません。変数さえ分離されていれば、必ずしも順番に計算する必要はありません。 上記の例では、各積分は独立しています。つまり、各積分の積分範囲は他の積分の影響を受けません。そのため、各積分を独立して計算してから、掛け合わせても、結果は同じになります。 ただし、変数が分離されていない場合は、順番に計算する必要がある場合があります。例えば、以下のような三重積分を考えてみましょう。 I = ∫_(0,2π) dϕ∫_(0,π) 2r^2sinθdθ∫_(0,R) ρr^2dr この積分では、r は θ に依存しています。そのため、r の積分を先に計算すると、θ の積分範囲が変化してしまいます。そのため、この場合は、θ の積分を先に計算する必要があります。 このように、変数が分離されているかどうかは、重積分の順番を決める上で重要な要素となります。 一般に、重積分の順番を決める際には、以下の点に注意するとよいでしょう。 各積分の積分範囲が他の積分の影響を受けていないかを確認する。 積分範囲が変化しないように、積分を計算する順番を決める。 上記の点に注意して計算すれば、重積分を別々に計算しても、必ずしも順番に計算する必要はありません。

mrmgsalamatpo
質問者

お礼

丁寧に解説していただきありがとうございます。 大変よりわかりました。

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