等加速度直線運動について

質問

一定の加速度をa、初速度をv0とするとき、時刻ｔにおける変位ｘは、
x=v0t+1/2at^2
とありますが、なぜ1/2を掛けるのでしょうか？
グラフから求められることはわかっているのですが、
x=vtという式がある以上、v=v0+atという式にtを掛ければ変位がでてきそうな気がするのですが・・・

回答No.4

okormazd

x=vtという式は、速度が一定のときの式です。
速度が連続的に変わるときは、ある時刻tでの速度にその速度でいる時間をかければその時間中に動いた距離・変位が求められるというだけです。が、速度は連続的に変わっているので、そんなのは一瞬だから、x=vtの式は意味を成さないのです。それで、一瞬を表す式、dx=vdtという式を作って、これから一瞬でない式を導くと、x=v0t+1/2at^2という式になるわけです。この操作を積分といいます。
なぜ、1/2がつくか。
きょうから貯金します。きょうは2000円します。明日から毎日100円ずつ貯金する額を増やします。1日目2000円、2日目2100円、3日目2200円、4日目2300円・・・ずつ貯金するのです。10日目にはいくら貯まっているでしょう。v0=2000(円/d)、a0=100(円/d^2)、t=10(d)で、
x(円)を求める問題とほぼ同じです。
ちゃんと計算すると、
x=2000*10+100+200+300+・・・+900=24500円です。
一方、x=v0t+1/2at^2の式で計算すると、
x=2000*10+1/2*100*10^2=25000円
ちょっと違いますが、これは連続な量を不連続な量で説明しようとした違いです。
1/2がないと、
x=2000*10+100*10^2=2000*10+1000*10=30000円となって、最後の日までの毎日の貯金額の増加分を日数倍するような計算になってしまいます。
これでは不当でしょう。

回答No.3

ymmasayan

No.1さんの言われるように
x=v0t+1/2at^2
をｔで微分して速度を求めるとｖ＝v0＋2*(1/2・at)＝v0＋at
となって確かに等加速度運動なのですが。

tをtで積分すると1/2＊t^2になるところは理解できてますか。

回答No.2

774danger

x=vtだと等加速度運動ではなく等速度運動ですよね
等加速度運動のときは成り立ちません
v=v0+atの式をtで積分するとx=v0t+1/2at^2になります
v=v0+atの一次直線のグラフの0～tにおける面積がxになります

回答No.1

ginlime

変異の位置ｘを時間で微分すれば速度になり、速度をまた時間で微分すれば加速度になります。速度と加速度のデメンションを確認してもらえれば理解できると思います。逆に加速度を2回積分したものが位置ですから、示された式ののようになります。