非線形分布定数システム→線形時変システム

質問

非線形分布定数システム

ｄｘ　　ｄ
－－＝－－［Ａ（ｔ，ｚ）ｘ（ｔ，ｚ）］＋Ｂ（ｔ，ｚ）ｕ（ｔ，ｚ）
ｄｔ　ｄｚ

を，いじくりやすいように線形化したいのですが，ｚ（位置）についてのみ差分化し，

ｄｘ’
－－＝Ａ’（ｔ）ｘ’（ｔ）＋Ｂ’（ｔ）ｕ’（ｔ）
ｄｔ

として線形時変システムとして扱うことは，数学的に良いのでしょうか？
差分化に伴い，ｘやＡなどはｘ’やＡ’などに記述し直されるとします．

難しい数学でいじくる非線形分布定数システムと，線形システムと，
別個に解説する本は何冊か持っているのですが，具体的な線形化の妥当性については
解説がなく，上記の手続きが不安になりました．
宜しくご教授下さいませ．

回答No.1

mmky · ベストアンサー

mmkyです。難しすぎてちょっとだめだけど、参考になるかもと思い書き込みます。参考にならなかったらごめん。

dx/dt=d{［A(ｔ,ｚ）x（ｔ,ｚ）+B（ｔ,ｚ）u（ｔ,ｚ)}/dz
=dI/dz
とすれば、(dx'/dt)=(dI'/dz) は可能性がある?

(dz/dz)=1、(dt/dt)=1 とすると、
(dx/dt)(dz/dz)=dI/dz
=(dx/dz)(1/dt)dz=dI/dz=I'
x'/dt=I'/dz
{x'/dt}={I'/dz}
おのおのを新しい関数と考えれば、
{F}={G}
d{F}=d{G}
d{F}={d{F}/dx'}dx'+{d{F}/d(dt)}d(dt)
=(1/dt)dx'+(-x'/(dt)＾2)d(dt)
d{G}=(1/dz)dI'+(-I'/(dz)＾2)d(dz)

d{F}-d{G}=0
(1/dt)dx'+(-x'/(dt)＾2)d(dt)-(1/dz)dI'-(-I'/(dz)＾2)d(dz)=0
｛(1/dt)dx'-(1/dz)dI'｝+{(I'/(dz)＾2)d(dz)-(x'/(dt)＾2)d(dt)}=0
ここで、{(I'/(dz)＾2)d(dz)-(x'/(dt)＾2)d(dt)}→0
(なぜならd(dz)=(dz/dz)dz=dz, d(dt)=(dt/dt)dt=dt, I'/dz=x'/dt ゆえ）
だから、
(1/dt)dx'-(1/dz)dI'=0
(dx'/dt)=(dI'/dz)
参考にならないか？

お礼

雑用多々で返事が遅くなってしまいました．スミマセン．．
ご意見をもとに進めていきたいと思います．
お教え頂きましてありがとうございました．＜（＿＿）＞