中学生の幾何について

質問

円の件なんですが、弦の長さは対応する中心角に比例するのでしょうか？
また、その理由も知りたいです。お願いします。

回答No.3

Quattro99 · ベストアンサー

中心角が0°から180°までに限定しても比例しません。
計算上は#2さんの回答の通りですので、見た感じでわかる方法を考えてみました。

弧の長さが中心角に比例することを前提とします。
ある中心角Aに対する弧Aと弦Aを考え、これより小さい中心角Bに対する弧Bと弦Bを考えます。さらに、弦Bに対して中心角がAになるような円を考えると（元の円よりも小さい円になる。2つ出来ますが、中心が弦Bに対して元の円と同じ側に来る方を考える）、元の円から出っ張る形になります（この出っ張った部分を弧Cとします）。
扇形の部分が相似になりますから、弦Aと弦Bの比は弧Aと弧Cの比と同じです。
一方、中心角Aと中心角Bの比は、弧Aと弧Bの比と同じですから、弦Aと弦Bの比と等しくないことがわかります。

お礼

わかりやすい回答どうもありがとうございます。ぜひとも参考にさせていただきます。

回答No.2

opechorse

円の中心角に従って大きくなるは正解ですが
比例ではないです
弦の長Lさは
中心角θ　半径Rとして
L=2Rsin(θ/2)です(理由といってもこれが正弦定理そのものだからどうしよう)
中学生の範囲だと
中心角
0°→0
60°→R
90°→2^(1/2)R(要はルート2)
120°→3^(1/2)R(要はルート3)
と角度が2倍→長さが2倍になっていないです

角度に比例するのは弦でなく弧です
２辺を共通するおおぎ形と三角形では三角形のほうが面積が小さいので
長さが比例していない証明になります

お礼

いっていることを図に表してみるととてもわかりやすいです。
どうもありがとうございました！

回答No.1

augustinus

円において、弦は、半径を等辺とする二等辺三角形の一番長い辺と言うことになり、0度から180度まで、中心角に比例して長くなります。
180度で直径となり、180度から360度までは、短くなります。
だから、中心角の範囲が0度から180度であれば比例しますが、それ以外、例えば0度から360度などでは、180度から反転して弧は短くなるので、比例しているとは言えないですね。

お礼

なぞが解けました！
ありがとうございます。
おかげで先生に怒られずに済みます。
とてもわかりやすく、納得がいきます。