幾何で弓形の作図方法の質問です

質問

与えられた線分を弦とし、角αを含む弓形の作図方法の質問です。

与えられた角αの図を利用して、角の頂点を中心に円を描いてαを頂角にもつような二等辺三角形を作図する～
という手順での弓形の作図方法があると思うんですが、
その手順ではなくて、
与えられた線分を作図してから始める（上手く表現できていなくてすみません）作図方法はありますか？

分かる方がいたら教えていただきたいです。
よろしくおねがいします。

回答No.3

Har-mo-nize · ベストアンサー

ANo.1/2です。
思案したところ、角の2等分線を利用した方が角度による場合分けが少なくANo.2よりシンプルですので、こちらの作図法を以下に記します。

i)α≠180°のとき
１）線分ABの垂直2等分線lを描きます。
２）角α(∠XOY)の2等分線mを描きます。
３）頂点Oを通って直線mに垂直な直線nを描きます。
４）半直線OXと直線nとのなす角が90°より小さい角(90°-α/2)を、点Aを頂点、線分ABを始線として角の移動を行い、このとき引かれた半直線と直線lとの交点を点Fとします。（∠AFB=α）
５）中心を点F、半径をAFとして弧を描きます。ただし0°<α<180°のとき小さい方の弧を描き、180°<α<360°のとき大きい方の弧を描きます。

ii)α=180°のとき
１）線分ABの垂直2等分線lを描き、線分ABの中点を点Fとします。
２）中心を点F、半径をAFとして弧（半円）を描きます。

お礼

お礼が遅くなってしまって申し訳ありません。
丁寧な説明をしていただきありがとうございました。
とても参考になりました。

回答No.2

Har-mo-nize

ANo.1です。
考え直してみますと冗長で無駄な手順がありました。また与えられた角αを鋭角と思い込んでいましたので直角以上の大きさをもつ角には対応していませんでした。
これらのことを改善した作図手方法を改めて示します。
まだ不備があるかもしれませんが参考にしてください。

i)与えられた角αが鋭角または3直角より大きく4直角未満の場合（0°<α<90°,270°<α<360°）
１）線分ABの垂直2等分線lを描きます。
２）頂点Oを通って半直線OXに垂直な直線を引き、直線OXについてYと同じ側の延長上の点をZとします。（つまり 0°<α<90°のとき∠YOZ=90°-α、270°<α<360°のとき∠YOZ=α-270° になります。）
３）点Aを頂点として、線分ABとのなす角が∠YOZとなるように直線を引き（角の移動）、直線lとの交点を点Eとします。
４）点Eについて線分ABと反対側で、AE=EFとなるような直線l上の点Fをとります。
５）点Fを中心として半径AFとなるような円弧を描けば、求める弓形になります。
　（0°<α<90°のときは小さい方の円弧、270°<α<360°のときは大きい方の円弧）

ii)与えられた角αが直角または3直角の場合（α=90°,270°）
１）線分ABの垂直2等分線lを描き、線分ABの中点を点Eとします。
２）直線l上で、AE=EFとなるような点Fをとります。
３）点Fを中心として半径AFとなるような円弧を描けば、求める弓形になります。
　（α=90°のときは4分の1円、α=270°のときは4分の3円）

iii)与えられた角αが鈍角または2直角より大きく3直角未満の場合（90°<α<180°,180°<α<270°）
１）線分ABの垂直2等分線lを描きます。
２）頂点Oを通って半直線OXに垂直な直線を引き、直線OXについてYと同じ側の延長上の点をZとします。（つまり 90°<α<180°のとき∠YOZ=α-90°、180°<α<270°のとき∠YOZ=270°-α になります。）
３）点Aを頂点として、線分ABとのなす角が∠YOZとなるように直線を引き（角の移動）、直線lとの交点を点Eとします。
４）点Eについて線分ABと同じ側で、AE=EFとなるような直線l上の点Fをとります。
５）点Fを中心として半径AFとなるような円弧を描けば、求める弓形になります。
　（90°<α<180°のときは小さい方の円弧、180°<α<270°のときは大きい方の円弧）

iv)与えられた角αが2直角の場合（α=180°）
１）線分ABの垂直2等分線lを描き、線分ABの中点を点Fとします。
２）点Fを中心として半径AFとなるような円弧（半円）を描けば、求める弓形になります。

回答No.1

Har-mo-nize

図に角度α（∠XOY）と線分ABだけが与えられていて、コンパスと定規だけを使って、中心角がαで線分ABを弦とする弧ABを作図する　ということですか？
もっといい方法があるかと思いますが、参考にしてみてください。

１）線分ABの垂直２等分線lを作図します。
２）点Bを通って直線lに平行な直線mを引きます。
３）半直線OX上に、頂点Oからの距離が線分ABと同じ長さになる点Pをとり、点Pを通って半直線OXに垂直な直線を引き、半直線OYとの交点を点Qとします。
４）直線m上で点Bからの距離が線分PQと同じ長さになる点を点Cとします。（△POQ≡△BAC　∴∠BAC=α）
５）点Aを通って直線ACに垂直な直線を引き、直線mとの交点を点Dとします。（△ABC∽△DBA、∠ADB=α）
６）線分BDの垂直２等分線を描き、直線lとの交点を点Eとし、点Eについて線分ABと反対側にあり点Eからの距離が線分AEと同じ長さになる直線l上の点を点Fとします。（円周角の定理から∠AFB=∠ADB=α、点Eは4点A,B,D,Fを通る円の中心）
７）点Fを中心として、半径がAFとなるような弧ABを描けば、求める弧になります。

他に∠XOYの二等分線を描いてα/2を作図した後、角度α/2についてP,Qと同様の手順で2点P',Q'を求め、直線m上で点Bからの距離が線分P'Q'と同じ長さになる点を点C'とし、点Aを通って直線AC'に垂直な直線と直線lとの交点を点Fとしても作図できるようです。